Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.1 [2,5 puntos]
Las funciones $E(x)$ y $D(x)$ representan, respectivamente, el rendimiento de dos pintores, Eneko y Deiene, un determinado día que trabajan durante 8 horas.
Ambas funciones miden los metros cuadrados pintados por hora y se pueden determinar mediante las expresiones:

$E(x)=-x^2+19x+66,0\le x\le 8$

$D(x)=-x^2+5x+150,0\le x\le 8$

a) [0,3 puntos] ¿Qué pintor tiene mejor rendimiento inicial?
b) [0,6 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Eneko? ¿Cuándo se da?
c) [0,5 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Deiene? ¿Cuándo se da?
d) [0,3 puntos] ¿Cuándo tienen ambos el mismo rendimiento?
e) [0,8 puntos] Al final de la jornada laboral de ese día, ¿cuántos $m^2$ ha pintado Deiene en total?

Antes de entrar en los apartados se calculan las dos derivadas, que hacen falta en varios de ellos.

$E^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+19;D^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+5$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{pintor}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{mejor}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{inicial?}}$

El rendimiento inicial es el de la hora cero, es decir, el valor de cada función en $x=0$.

$E(0)=-0^2+19\cdot 0+66=66{\text{m}}^2\mathrm{/}\text{h}$

$D(0)=-0^2+5\cdot 0+150=150{\text{m}}^2\mathrm{/}\text{h}$

Deiene tiene mejor rendimiento inicial, $150{\text{m}}^2\mathrm{/}\text{h}$ frente a los $66{\text{m}}^2\mathrm{/}\text{h}$ de Eneko.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Eneko?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{da?}}$

Se busca el máximo de $E(x)$ en el intervalo cerrado $[0,8]$, de modo que hay que comparar los puntos críticos con los extremos del intervalo.

$E^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+19=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{19}{2}}=\mathrm{9,5}$

El punto crítico queda fuera del intervalo, ya que $\mathrm{9,5}>8$. Como la parábola tiene el vértice a la derecha de $x=8$ y las ramas hacia abajo, la función es creciente en todo el intervalo de trabajo:

$E^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ para todo }x\in [0,8](\text{por ejemplo }{E}^{\mathrm{\prime }}(8)=3>0)$

El máximo se alcanza entonces en el extremo derecho.

$E(8)=-8^2+19\cdot 8+66=-64+152+66=154$

El mayor rendimiento de Eneko es de $154{\text{m}}^2\mathrm{/}\text{h}$, y lo alcanza al final de la jornada, en la octava hora.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{rendimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Deiene?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{da?}}$

Se repite el razonamiento con $D(x)$, cuyo punto crítico sí pertenece al intervalo.

$D^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+5=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{2}}=\mathrm{2,5}$

$D^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$D(\mathrm{2,5})=-{\mathrm{2,5}}^2+5\cdot \mathrm{2,5}+150=-\mathrm{6,25}+\mathrm{12,5}+150=\mathrm{156,25}$

Comparando con los extremos, $D(0)=150$ y $D(8)=126$, se confirma que ese es el máximo absoluto del intervalo.

El mayor rendimiento de Deiene es de $\mathrm{156,25}{\text{m}}^2\mathrm{/}\text{h}$, y lo alcanza a las $\mathrm{2,5}$ horas de empezar, es decir, a las dos horas y media.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{rendimiento?}}$

Se igualan las dos funciones. Los términos de segundo grado son iguales y se cancelan, con lo que queda una ecuación de primer grado.

$E(x)=D(x)\Rightarrow -x^2+19x+66=-x^2+5x+150$

$19x-5x=150-66\Rightarrow 14x=84\Rightarrow x=6$

$E(6)=D(6)=-36+114+66=144$

El valor obtenido pertenece al intervalo de trabajo. Los dos pintores tienen el mismo rendimiento a las $6$ horas de empezar, y en ese instante ambos pintan $144{\text{m}}^2\mathrm{/}\text{h}$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Al}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{jornada}}\mathbf{\text{laboral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathrm{<msup><mtext>m</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup>}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{pintado}}\mathbf{\text{Deiene}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total?}}$

La función $D(x)$ mide metros cuadrados por hora, así que los metros cuadrados totales de la jornada son el área bajo la curva entre $x=0$ y $x=8$, es decir, la integral definida de $D$ en ese intervalo.

${\int }_0^{8}D(x)dx={\int }_0^8(-x^2+5x+150)dx$

Aplicando la regla de Barrow:

$={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}+150x]}_0^8$

$=(-{\displaystyle \frac{512}{3}}+{\displaystyle \frac{5\cdot 64}{2}}+150\cdot 8)-0=-{\displaystyle \frac{512}{3}}+160+1200$

$={\displaystyle \frac{-512+4080}{3}}={\displaystyle \frac{3568}{3}}\approx \mathrm{1189,33}$

Al final de la jornada Deiene ha pintado $\frac{3568}{3}\approx \mathrm{1189,33}{\text{m}}^2$.