Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

El número de kilogramos de comida que han gastado en un albergue de animales durante una semana concreta se puede calcular mediante la función $f(t)=10(-{\displaystyle \frac{t^3}{8}}+{\displaystyle \frac{3t^2}{2}}-{\displaystyle \frac{9t}{2}}+10)$, donde $t$ es el tiempo en días y va desde el día $t=1$ (lunes) hasta el día $t=8$ (lunes de la semana siguiente).

a) Calcule cuántos kilogramos de comida se gastaron el primer lunes y el lunes siguiente. Encuentre qué día de aquella semana se gastaron 100 kg de comida. [1 punto]

b) Determine los días de la semana en los que el gasto en comida fue mayor y los días en los que fue menor. ¿Cuántos kilogramos de comida se gastaron esos días? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kilogramos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{comida}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{gastaron}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{lunes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{lunes}}\mathbf{\text{siguiente.}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aquella}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{gastaron}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">100</mn>}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{comida.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El primer lunes corresponde a $t=1$ y el lunes siguiente a $t=8$, de modo que basta evaluar la función en esos dos valores.

$f(1)=10(-{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}+10)=10\cdot {\displaystyle \frac{55}{8}}={\displaystyle \frac{275}{4}}=\mathrm{68,75}$

$f(8)=10(-{\displaystyle \frac{512}{8}}+{\displaystyle \frac{3\cdot 64}{2}}-{\displaystyle \frac{72}{2}}+10)=10(-64+96-36+10)=60$

Para saber qué día se gastaron 100 kg se iguala la función a ese valor.

$10(-{\displaystyle \frac{t^3}{8}}+{\displaystyle \frac{3t^2}{2}}-{\displaystyle \frac{9t}{2}}+10)=100$

$-{\displaystyle \frac{t^3}{8}}+{\displaystyle \frac{3t^2}{2}}-{\displaystyle \frac{9t}{2}}+10=10\Rightarrow -{\displaystyle \frac{t^3}{8}}+{\displaystyle \frac{3t^2}{2}}-{\displaystyle \frac{9t}{2}}=0$

Multiplicamos por $-8$ y sacamos factor común:

$t^3-12t^2+36t=0\Rightarrow t(t^2-12t+36)=0\Rightarrow t(t-6{)}^2=0$

$\{\begin{array}{l}t=0\\ t=6\end{array}$

Se descarta $t=0$ por no pertenecer al dominio de la función, que es el intervalo $[1,8]$.

El primer lunes se gastaron $\mathrm{68,75}$ kg de comida y el lunes siguiente $60$ kg. Los 100 kg se gastaron el día $t=6$, es decir, el sábado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{comida}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{menor.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kilogramos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{comida}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{gastaron}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as?}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se buscan los extremos absolutos de la función en el intervalo cerrado $[1,8]$, así que hay que comparar los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=10(-{\displaystyle \frac{3t^2}{8}}+3t-{\displaystyle \frac{9}{2}})$

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3t^2}{8}}+3t-{\displaystyle \frac{9}{2}}=0$

Multiplicamos por $-{\displaystyle \frac{8}{3}}$:

$t^2-8t+12=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-48}}{2}}={\displaystyle \frac{8\pm 4}{2}}$

$\{\begin{array}{l}t=2\\ t=6\end{array}$

Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }t=\mathrm{1,5},f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{1,5})=10(-{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{2,25}}{8}}+\mathrm{4,5}-\mathrm{4,5})<0\\ \text{Si }t=4,f^{\mathrm{\prime }}(4)=10(-6+12-\mathrm{4,5})=15>0\\ \text{Si }t=7,f^{\mathrm{\prime }}(7)=10(-{\displaystyle \frac{147}{8}}+21-\mathrm{4,5})<0\end{array}$

La función decrece en $(1,2)$, crece en $(2,6)$ y vuelve a decrecer en $(6,8)$, de modo que hay un mínimo relativo en $t=2$ y un máximo relativo en $t=6$.



Calculamos los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:

$f(1)=\mathrm{68,75}$

$f(2)=10(-1+6-9+10)=60$

$f(6)=10(-27+54-27+10)=100$

$f(8)=60$

Comparando los cuatro valores:

$60=60<\mathrm{68,75}<100$

El gasto fue mayor el sábado ($t=6$), con $100$ kg de comida, y fue menor el martes ($t=2$) y el lunes siguiente ($t=8$), con $60$ kg en cada uno de los dos días.