Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2023 (convocatoria ordinaria)

El precio de un vuelo entre Barcelona e Islandia es de 500 €. Una compañía aérea tiene capacidad para 300 pasajeros diarios, pero hay una determinada época del año en la que solo vende 180 billetes. Después de hacer un estudio de mercado, la compañía se da cuenta de que la relación entre el precio del billete y el número de pasajeros es lineal, de manera que por cada 5 € de descuento en el precio del billete consigue dos pasajeros más.

a) Si llamamos $x$ al número de veces que se aplica el descuento, escriba la función que da los ingresos diarios de la compañía por la venta de billetes en función de $x$. [1 punto]

b) ¿A qué precio hay que vender cada billete para obtener el máximo de ingresos? ¿Qué ingresos se obtendrán con este precio? [1,5 puntos]

Un centro cívico ofrece cursos de francés de nivel principiante, intermedio y avanzado. Los alumnos inscritos, si lo desean, tienen garantizada una plaza para el curso siguiente. Es por eso que, antes de acabar el curso, se hacen las reservas de plaza para el curso que viene. Del alumnado de nivel principiante, un 15 % quiere repetir el mismo curso, un 50 % quiere hacer el curso intermedio y un 5 % quiere pasar directamente al curso de nivel avanzado. Por lo que respecta al alumnado de nivel intermedio, un 10 % quiere repetir el curso y un 60 % quiere hacer el curso de nivel avanzado. Finalmente, del alumnado de nivel avanzado, un 20 % quiere repetir el curso. Ningún alumno pide reserva de plaza para un curso de nivel inferior y el resto de alumnos no quieren continuar en el centro el curso que viene. Este año ha habido 100 alumnos matriculados de nivel principiante, 90 de nivel intermedio y 60 de nivel avanzado.

a) Calcule el número de plazas que hay que reservar de cada nivel para el curso siguiente mediante un producto de matrices. [1,25 puntos]

b) El mismo centro cívico ofrece dos horarios de yoga, uno de mañana y uno de tarde. Para el próximo curso, el 50 % de los alumnos que actualmente hacen yoga por la mañana quieren continuar con el mismo horario, mientras que un 30 % quieren pasar al horario de tarde. El resto de alumnos de mañana no continuarán. Por lo que respecta a los alumnos que actualmente hacen yoga por la tarde, un 40 % quieren pasar al horario de mañana y un 60 % quieren continuar haciendo el horario de tarde. Si sabemos que para el curso siguiente hay que reservar 49 plazas para el horario de mañana y 51 plazas para el horario de tarde, ¿cuántos alumnos hay matriculados actualmente en cada horario? [1,25 puntos]

Roberto ha hecho tres pruebas de una asignatura. Haciendo la media aritmética de las notas obtenidas en cada una de las tres pruebas le ha quedado una nota global de 6. Roberto sabe que la nota de la tercera prueba ha sido igual que la media aritmética de las notas de las otras dos pruebas.

a) Con esta información, ¿puede saber alguna de las tres notas? En caso afirmativo, ¿de qué prueba y cuál sería la nota obtenida? [1,25 puntos]

b) La profesora le dice que ha sido muy irregular y que si solo se tuvieran en cuenta las notas de las dos últimas pruebas habría obtenido una media de 7. ¿Qué nota ha obtenido en cada prueba? [1,25 puntos]

Una empresa de Menorca quiere ofrecer dos tipos de actividades: bautizos de submarinismo desde una barca y excursiones en barca por la costa para bañarse en calas. El bautizo de submarinismo tiene un precio de 60 euros por persona y en cada embarcación irán 10 participantes y 5 instructores. La excursión por la costa tiene un precio de 18 euros por persona y en cada embarcación irán 25 participantes y 2 instructores. La empresa dispone de 30 embarcaciones iguales y de 75 instructores que pueden hacer salidas de submarinismo o excursiones en barca por las calas indistintamente. Su intención es obtener el máximo de ingresos suponiendo que llenará todas las embarcaciones.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) ¿Cuántas salidas de cada tipo ha de ofrecer la empresa cada día para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuánto dinero ingresará diariamente? [1,25 puntos]

El número de kilogramos de comida que han gastado en un albergue de animales durante una semana concreta se puede calcular mediante la función $f(t)=10(-{\displaystyle \frac{t^3}{8}}+{\displaystyle \frac{3t^2}{2}}-{\displaystyle \frac{9t}{2}}+10)$, donde $t$ es el tiempo en días y va desde el día $t=1$ (lunes) hasta el día $t=8$ (lunes de la semana siguiente).

a) Calcule cuántos kilogramos de comida se gastaron el primer lunes y el lunes siguiente. Encuentre qué día de aquella semana se gastaron 100 kg de comida. [1 punto]

b) Determine los días de la semana en los que el gasto en comida fue mayor y los días en los que fue menor. ¿Cuántos kilogramos de comida se gastaron esos días? [1,5 puntos]

Cuando se diseñan los escalones de una escalera hay diversos parámetros que hay que tener en cuenta, dos de los cuales son la huella (la parte horizontal del escalón, donde se pone el pie) y la contrahuella (la parte vertical del peldaño, es decir, la altura).



El arquitecto francés François Blondel estableció a finales del siglo XVII que la relación ideal entre estas dos magnitudes era que la suma de dos contrahuellas más una huella fuese igual a 64 cm.

Llamamos $y$ a la longitud de la contrahuella y $x$ a la longitud de la huella.

a) Encuentre la función que permite calcular la longitud ideal de la contrahuella en función de la longitud de la huella. ¿Cuál sería la longitud ideal de la contrahuella si la huella es de 28 cm? [1 punto]

b) La normativa actual establece que en el diseño de escaleras de uso público hay que hacer que la huella sea como mínimo de 28 cm y que la contrahuella esté comprendida entre 13 y 18,5 cm. Además, la suma de dos contrahuellas más una huella ha de estar entre 54 y 70 cm. Escriba estas tres condiciones en función de $x$ y de $y$. Si queremos construir una escalera con escalones de 40 cm de huella, calcule entre qué valores ha de estar comprendida la contrahuella para cumplir con la normativa actual. [1,5 puntos]