Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2020 (convocatoria extraordinaria)

Consideremos la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}x& -2\\ 5& -x\end{array}\right)$. Estudie para qué valores de $x$ la matriz inversa de la matriz $A$ coincide con su opuesta, es decir, $A^{-1}=-A$. [2,5 puntos]

Un fabricante tuvo un producto a la venta durante diez años. Durante este tiempo, el precio del producto $P$, en euros, estuvo relacionado con el tiempo que hacía que estaba a la venta $t$, expresado en años, siguiendo la función siguiente:

$P(t)=\{\begin{array}{ll}5(t+1{)}^2-5& \text{si }0\le t\le 2\\ -4t+48& \text{si }2<t\le 10\end{array}$

a) Indique los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del precio del producto durante estos diez años. [1,25 puntos]

b) Encuentre el precio máximo que alcanzó el producto durante el tiempo que estuvo a la venta y calcule la tasa de variación media del precio del producto durante los últimos cinco años que estuvo a la venta. [1,25 puntos]

Una conocida marca fabrica dos versiones de una misma fragancia: el perfume, que es más concentrado y que se vende en botellas pequeñas que cuestan 70 euros, y la colonia, que es más diluida y que se vende en botellas más grandes a 82 euros. En la fabricación hay que mezclar dos ingredientes: el ingrediente A (que contiene el aroma concentrado) y el ingrediente B (que contiene alcohol y otras sustancias). En estos momentos el fabricante dispone de 5.000 ml del ingrediente A y de 30.000 ml del ingrediente B. Para fabricar una botella de perfume hacen falta 10 ml del ingrediente A y 40 ml del ingrediente B, y para fabricar una de colonia hacen falta 10 ml del ingrediente A y 90 ml del ingrediente B. Los pedidos actuales obligan a fabricar al menos 120 unidades de perfume y 70 unidades de colonia.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) ¿Cuántas unidades hay que producir de cada versión para obtener, una vez vendidas, unos ingresos máximos? ¿Cuáles son estos ingresos? [1,25 puntos]

Consideremos las funciones $f(x)=x^2+ax+b$ y $g(x)=-x^2+c$.

a) Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ se corten en los puntos $(-1,3)$ y $(3,-5)$. [1,25 puntos]

b) Para $c=4$, encuentre la ecuación de la recta tangente a $g(x)$ en el punto de abscisa $x=-1$. [1,25 puntos]

Un triatlón consta de tres segmentos que hay que realizar consecutivamente practicando tres modalidades de deporte diferentes: natación, ciclismo y carrera a pie. La distancia total que se recorrerá en el triatlón es de 75 km. Sabemos que el recorrido en bicicleta es igual a cuatro veces la distancia que hay que recorrer nadando y corriendo conjuntamente. Sabemos también que si sumamos 3 km a la distancia que se hace corriendo nos da lo mismo que cinco veces el recorrido que se hace nadando. Determine la distancia recorrida en cada modalidad. [2,5 puntos]

La función $Q(x)=(x+1{)}^2(32-x)$, donde $x\in [-1,32]$, representa la producción, en kilogramos, de una hortaliza en un invernadero en función de la temperatura $x$, expresada en grados centígrados (°C), que puede variar entre −1 °C y 32 °C.

a) Calcule cuál es la temperatura del invernadero con la que se obtiene la máxima producción. ¿Qué producción de hortaliza obtendremos a esta temperatura? [1,25 puntos]

b) Calcule a qué temperaturas se alcanza el nivel mínimo de producción y cuál es este valor mínimo. [1,25 puntos]