Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La función $Q(x)=(x+1{)}^2(32-x)$, donde $x\in [-1,32]$, representa la producción, en kilogramos, de una hortaliza en un invernadero en función de la temperatura $x$, expresada en grados centígrados (°C), que puede variar entre −1 °C y 32 °C.

a) Calcule cuál es la temperatura del invernadero con la que se obtiene la máxima producción. ¿Qué producción de hortaliza obtendremos a esta temperatura? [1,25 puntos]

b) Calcule a qué temperaturas se alcanza el nivel mínimo de producción y cuál es este valor mínimo. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{invernadero}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hortaliza}}\mathbf{\text{obtendremos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{temperatura?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función aplicando la regla del producto y sacamos factor común para poder anularla cómodamente.

$Q^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x+1)(32-x)+(x+1{)}^2(-1)$

$Q^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)[2(32-x)-(x+1)]=(x+1)(64-2x-x-1)$

$Q^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)(63-3x)=3(x+1)(21-x)$

$Q^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=21\end{array}$

Se hace un estudio de signos de la derivada dentro del intervalo de trabajo.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=0,3\cdot 1\cdot 21=63>0\\ \text{Si }x=30,3\cdot 31\cdot (-9)=-837<0\end{array}$

La función crece en $(-1,21)$ y decrece en $(21,32)$, de modo que en $x=21$ hay un máximo.



$Q(21)=(21+1{)}^2(32-21)={22}^2\cdot 11=484\cdot 11=5324$

La producción máxima se obtiene a $21{}^{\circ }$C y es de $5324$ kg de hortaliza.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{temperaturas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se busca el mínimo absoluto de la función en el intervalo cerrado $[-1,32]$, así que hay que comparar los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. Por el apartado anterior el único punto crítico interior es $x=21$, que es un máximo, de modo que el mínimo tiene que estar en los extremos.

$Q(-1)=(-1+1{)}^2(32+1)=0\cdot 33=0$

$Q(32)=(32+1{)}^2(32-32)=1089\cdot 0=0$

Los dos extremos anulan la producción: en $x=-1$ se anula el factor $(x+1{)}^2$ y en $x=32$ se anula el factor $(32-x)$. Además, dentro del intervalo los dos factores son positivos, de manera que $Q(x)>0$ y no puede haber ningún valor menor que cero.

El nivel mínimo de producción se alcanza a $-1{}^{\circ }$C y a $32{}^{\circ }$C, y en ambos casos la producción es de $0$ kg.