Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Si el precio de la entrada de un cine es de 8 euros, van 500 personas. El propietario sabe por experiencia que por cada aumento de 1,5 euros en el precio de la entrada van 30 espectadores menos. Encuentre:

a) La función que determina el número de espectadores en función del precio de la entrada. [3 puntos]

b) La función que determina los ingresos del cine en función del precio de la entrada. [2 puntos]

c) El precio de la entrada para que los ingresos del propietario sean máximos. [3 puntos]

d) El número de espectadores que irán al cine cuando el precio sea el que corresponde a los ingresos máximos, y estos ingresos máximos. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espectadores}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{entrada.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $p$ al precio de la entrada, en euros, y $E(p)$ al número de espectadores.

El punto de partida es que a 8 € van 500 personas, y que cada subida de 1,5 € cuesta 30 espectadores. El número de subidas de 1,5 € que hay entre 8 y $p$ es

${\displaystyle \frac{p-8}{\mathrm{1,5}}}$

Restamos 30 espectadores por cada una de esas subidas.

$E(p)=500-30\cdot {\displaystyle \frac{p-8}{\mathrm{1,5}}}=500-20(p-8)$

$E(p)=500-20p+160\Rightarrow E(p)=660-20p$

Comprobamos con los datos del enunciado: a 8 € debe dar 500 espectadores, y a 9,5 € (una subida de 1,5 €) debe dar 470.

$E(8)=660-160=500,E(\mathrm{9,5})=660-190=470$

La función es $E(p)=660-20p$: cada euro de subida cuesta 20 espectadores.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cine}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{entrada.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los ingresos son el producto del precio de la entrada por el número de entradas vendidas.

$I(p)=p\cdot E(p)=p(660-20p)$

$I(p)=660p-20p^2$

Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo, de manera que tiene un máximo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{propietario}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Derivamos la función de ingresos e igualamos a cero.

$I^{\mathrm{\prime }}(p)=660-40p$

$I^{\mathrm{\prime }}(p)=0\Rightarrow 660-40p=0\Rightarrow p={\displaystyle \frac{660}{40}}=\mathrm{16,5}$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(p)=-40\Rightarrow I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\mathrm{16,5})=-40<0$

El precio de la entrada que hace máximos los ingresos es de 16,50 €.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espectadores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cine}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sustituimos $p=\mathrm{16,5}$ en las dos funciones de los apartados anteriores.

$E(\mathrm{16,5})=660-20\cdot \mathrm{16,5}=660-330=330\text{ espectadores}$

$I(\mathrm{16,5})=\mathrm{16,5}\cdot 330=5445\text{ €}$

Con la entrada a 16,50 € irán 330 espectadores y los ingresos serán de 5445 €, que es el máximo posible. Nótese que ese precio deja el cine a media capacidad respecto de los 500 espectadores iniciales, y aun así se recauda más que los $8\cdot 500=4000$ € de partida.