Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2022 (convocatoria ordinaria)

Hace un año una sociedad de capital de riesgo invirtió 100000 euros en acciones de tres empresas, que llamaremos A, B y C. Ahora, las acciones de la empresa A han aumentado de valor en un 50 %, las de la empresa B han aumentado en un 10 % y, en cambio, las de la empresa C han perdido un 15 % de su valor. Si la sociedad vendiese ahora todas las acciones obtendría 102000 euros. Sabemos que invirtió en las acciones de la empresa C lo mismo que en las otras dos juntas.

a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [5 puntos]

b) Calcule la cantidad de dinero que la sociedad invirtió en acciones de cada empresa. [5 puntos]

En un taller se fabrican dos tipos de bolsos. Para hacer un bolso del primer modelo se necesitan 0,9 ${\text{m}}^2$ de cuero y 8 horas de trabajo. Para el segundo modelo se necesitan 1,2 ${\text{m}}^2$ de cuero y 4 horas de trabajo. Para hacer estos dos tipos de bolsos el taller dispone de 60 ${\text{m}}^2$ de cuero y puede dedicarles un máximo de 400 horas de trabajo. El taller cobra 30 euros por un bolso del primer modelo y 25 por uno del segundo.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de bolsos de cada tipo que se han de fabricar para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

Dado el sistema de ecuaciones siguiente

$\{\begin{array}{l}x-ay+2z=0,\\ ax-4y-4z=0,\\ 4x+3y-2z=0,\end{array}$

dependiente del parámetro $a$.

a) Discuta para qué valores de $a$ el sistema tiene solución y cuántas tiene en cada caso. [6 puntos]

b) Encuentre la solución en el caso de que $a=-2$. [4 puntos]

Considere la función a trozos siguiente

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x+2& \text{si }x<0,\\ x^3+ax+2& \text{si }x\ge 0.\end{array}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f(x)$ sea continua y derivable. [5 puntos]

b) Para $a=4$ calcule el área comprendida entre la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x=0$, $x=1$ e $y=0$. [5 puntos]

El gasto mensual en euros en lotería de un trabajador viene determinado por su salario mediante la función

$f(x)={\displaystyle \frac{100x}{b+x^2}},$

en la que $x\ge 0$ representa el salario en miles de euros y $b>0$ es un parámetro.

a) Encuentre el valor de $b$ para el cual el máximo del gasto se obtiene con un salario de 2 mil euros. [3 puntos]

b) Para $b=9$, determine el salario para el cual el gasto es máximo. ¿A cuánto asciende este gasto? [4 puntos]

c) Para $b=9$, ¿para qué salarios el gasto mensual es superior a 10 euros? [3 puntos]

Si el precio de la entrada de un cine es de 8 euros, van 500 personas. El propietario sabe por experiencia que por cada aumento de 1,5 euros en el precio de la entrada van 30 espectadores menos. Encuentre:

a) La función que determina el número de espectadores en función del precio de la entrada. [3 puntos]

b) La función que determina los ingresos del cine en función del precio de la entrada. [2 puntos]

c) El precio de la entrada para que los ingresos del propietario sean máximos. [3 puntos]

d) El número de espectadores que irán al cine cuando el precio sea el que corresponde a los ingresos máximos, y estos ingresos máximos. [2 puntos]

La producción en kilogramos de naranjas por naranjo en Sóller sigue una distribución normal de desviación típica 2 y media desconocida.

a) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la media poblacional con un nivel de confianza del 94 %, el error cometido sea inferior a 1,5 kg. [5 puntos]

b) Si se toma una muestra aleatoria de 10 naranjos, con producciones en kilogramos:

$302547045602132947$

calcule un intervalo de confianza del 97 % para estimar la producción media de naranjas por árbol. [5 puntos]

En una cierta empresa de exportación, el 62,5 % de los empleados habla inglés. Por otra parte, entre los empleados que hablan inglés, el 80 % habla también alemán. Entre los empleados que no hablan inglés, solo la tercera parte sí que habla alemán.

a) ¿Qué porcentaje de empleados habla las dos lenguas? [4 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de empleados habla alemán? [3 puntos]

c) Si un empleado no habla alemán, ¿cuál es la probabilidad de que hable inglés? [3 puntos]