Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

El gasto mensual en euros en lotería de un trabajador viene determinado por su salario mediante la función

$f(x)={\displaystyle \frac{100x}{b+x^2}},$

en la que $x\ge 0$ representa el salario en miles de euros y $b>0$ es un parámetro.

a) Encuentre el valor de $b$ para el cual el máximo del gasto se obtiene con un salario de 2 mil euros. [3 puntos]

b) Para $b=9$, determine el salario para el cual el gasto es máximo. ¿A cuánto asciende este gasto? [4 puntos]

c) Para $b=9$, ¿para qué salarios el gasto mensual es superior a 10 euros? [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{mil}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Derivamos la función, que es un cociente, aplicando la regla correspondiente.

$f(x)={\displaystyle \frac{100x}{b+x^2}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{100(b+x^2)-100x\cdot 2x}{{(b+x^2)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{100b+100x^2-200x^2}{{(b+x^2)}^2}}={\displaystyle \frac{100(b-x^2)}{{(b+x^2)}^2}}$

El denominador es un cuadrado y no se anula, porque $b>0$; los puntos críticos salen del numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow b-x^2=0\Rightarrow x^2=b\Rightarrow x=\sqrt{b}$

Se descarta la raíz negativa porque el salario cumple $x\ge 0$. Imponemos que el máximo esté en $x=2$.

$\sqrt{b}=2\Rightarrow b=4$

El valor del parámetro es $b=4$.



Con $b=9$ la función y su derivada quedan

$f(x)={\displaystyle \frac{100x}{9+x^2}},f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{100(9-x^2)}{{(9+x^2)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 9-x^2=0\Rightarrow x=3$

Comprobamos que es un máximo con un estudio de signos de la derivada. Como el denominador es siempre positivo, el signo lo marca $9-x^2$.

$\text{Si }x=1,9-1=8>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(1)>0$

$\text{Si }x=4,9-16=-7<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(4)<0$



La función pasa de crecer a decrecer en $x=3$, luego ahí hay un máximo. Calculamos el gasto.

$f(3)={\displaystyle \frac{100\cdot 3}{9+3^2}}={\displaystyle \frac{300}{18}}={\displaystyle \frac{50}{3}}\approx \mathrm{16,67}$

El gasto es máximo con un salario de 3 mil euros, y asciende a $50\mathrm{/}3\approx \mathrm{16,67}$ euros al mes.



Se plantea la inecuación correspondiente.

${\displaystyle \frac{100x}{9+x^2}}>10$

El denominador $9+x^2$ es siempre positivo, de modo que se puede multiplicar por él sin cambiar el sentido de la desigualdad.

$100x>10(9+x^2)\Rightarrow 10x>9+x^2$

$x^2-10x+9<0$

Resolvemos la ecuación asociada para factorizar.

$x^2-10x+9=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{10\pm \sqrt{100-36}}{2}}={\displaystyle \frac{10\pm 8}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=9\end{array}$

$(x-1)(x-9)<0$

Un producto de dos factores es negativo cuando tienen signos distintos, lo que ocurre entre las dos raíces. Se comprueba con un valor de prueba en cada tramo.

$\text{Si }x=0,(0-1)(0-9)=9>0$

$\text{Si }x=5,(5-1)(5-9)=-16<0$

$\text{Si }x=10,(10-1)(10-9)=9>0$

El gasto mensual es superior a 10 euros para los salarios comprendidos entre 1 y 9 mil euros, es decir, para $x\in (1,9)$. Los dos extremos quedan fuera porque en ellos el gasto es exactamente de 10 euros.