Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

La evolución de la población de un Estado, en millones de habitantes, se puede aproximar mediante la función

$P(t)={\displaystyle \frac{20t}{4+t^2}}+40,t\ge 0,$

donde $t$ es el tiempo en años.

a) Calcule la población actual (para $t=0$). [2 puntos]

b) Determine el límite de $P(t)$ cuando $t$ tiende a infinito. [3 puntos]

c) Determine al cabo de cuántos años la población será máxima y el número de habitantes que la función predice para ese máximo. [5 puntos]

Basta sustituir $t=0$ en la función.

$P(0)={\displaystyle \frac{20\cdot 0}{4+0^2}}+40={\displaystyle \frac{0}{4}}+40=40$

La población actual es de 40 millones de habitantes.



El sumando 40 es constante, así que todo depende del cociente, que es una fracción algebraica con el grado del denominador mayor que el del numerador.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{20t}{4+t^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$

Dividimos numerador y denominador por $t^2$, la potencia de mayor grado.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{20t}{4+t^2}}={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{20}{t}}}{{\displaystyle \frac{4}{t^2}}+1}}={\displaystyle \frac{0}{0+1}}=0$

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}P(t)=0+40=40$

El límite es 40 millones de habitantes: la recta $P=40$ es una asíntota horizontal, de modo que a largo plazo la población vuelve al valor de partida.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{predice}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Derivamos la función. El sumando constante desaparece y el cociente se deriva con la regla correspondiente.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{20(4+t^2)-20t\cdot 2t}{{(4+t^2)}^2}}={\displaystyle \frac{80+20t^2-40t^2}{{(4+t^2)}^2}}$

$P^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{80-20t^2}{{(4+t^2)}^2}}={\displaystyle \frac{20(4-t^2)}{{(4+t^2)}^2}}$

El denominador es un cuadrado y nunca se anula, así que los puntos críticos salen del numerador.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 4-t^2=0\Rightarrow t=\pm 2$

Se descarta $t=-2$ porque el enunciado exige $t\ge 0$. Hacemos un estudio de signos con un valor de prueba a cada lado.

$\text{Si }t=1,4-1=3>0\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(1)>0$

$\text{Si }t=3,4-9=-5<0\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(3)<0$



La función pasa de crecer a decrecer en $t=2$, luego ahí hay un máximo. Calculamos la población.

$P(2)={\displaystyle \frac{20\cdot 2}{4+2^2}}+40={\displaystyle \frac{40}{8}}+40=5+40=45$

La población será máxima al cabo de 2 años, y el modelo predice 45 millones de habitantes. Después la población vuelve a bajar y se acerca poco a poco a los 40 millones del apartado b).