Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

En una empresa se pueden producir hasta 500 mesas cada mes. La función de costes en relación con el número $q$ de mesas producidas es

$C(q)={\displaystyle \frac{q^3}{50}}+8q+40.$

Si $q$ es el número de mesas producidas, el coste medio de cada mesa se expresa mediante la función

$Q(q)={\displaystyle \frac{C(q)}{q}}\mathrm{.}$

a) Calcule el coste medio de cada mesa si la empresa produce 5. ¿Y si produce 20? [3 puntos]

b) Determine cuántas mesas hay que producir para que el coste medio sea mínimo. Justifique que se trata efectivamente de un mínimo y calcule este coste medio. [7 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{mesa}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{5.}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{20?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero escribimos la función de coste medio dividiendo la de costes entre el número de mesas.

$Q(q)={\displaystyle \frac{C(q)}{q}}={\displaystyle \frac{1}{q}}({\displaystyle \frac{q^3}{50}}+8q+40)={\displaystyle \frac{q^2}{50}}+8+{\displaystyle \frac{40}{q}}$

Sustituimos los dos valores.

$Q(5)={\displaystyle \frac{25}{50}}+8+{\displaystyle \frac{40}{5}}=\mathrm{0,5}+8+8=\mathrm{16,5}$

$Q(20)={\displaystyle \frac{400}{50}}+8+{\displaystyle \frac{40}{20}}=8+8+2=18$

El coste medio es de 16,50 € por mesa si se producen 5, y de 18 € por mesa si se producen 20.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{mesas}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{trata}}\mathbf{\text{efectivamente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{medio.}}\mathbf{\text{[7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Derivamos la función de coste medio, escribiendo antes el último término como una potencia.

$Q(q)={\displaystyle \frac{q^2}{50}}+8+40q^{-1}\Rightarrow Q^{\mathrm{\prime }}(q)={\displaystyle \frac{2q}{50}}-40q^{-2}={\displaystyle \frac{q}{25}}-{\displaystyle \frac{40}{q^2}}$

Igualamos a cero y resolvemos.

${\displaystyle \frac{q}{25}}-{\displaystyle \frac{40}{q^2}}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{q}{25}}={\displaystyle \frac{40}{q^2}}\Rightarrow q^3=1000$

$q=\sqrt[3]{1000}=10$

El valor obtenido está dentro del intervalo con sentido del problema, porque la empresa puede producir hasta 500 mesas.

Para justificar que es un mínimo calculamos la segunda derivada.

$Q^{\mathrm{\prime }}(q)={\displaystyle \frac{q}{25}}-40q^{-2}\Rightarrow Q^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)={\displaystyle \frac{1}{25}}+80q^{-3}={\displaystyle \frac{1}{25}}+{\displaystyle \frac{80}{q^3}}$

$Q^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(10)={\displaystyle \frac{1}{25}}+{\displaystyle \frac{80}{1000}}=\mathrm{0,04}+\mathrm{0,08}=\mathrm{0,12}>0$

Al ser la segunda derivada positiva, se trata en efecto de un mínimo. Se ve igual de bien con el signo de la primera derivada a cada lado.

$Q^{\mathrm{\prime }}(5)={\displaystyle \frac{5}{25}}-{\displaystyle \frac{40}{25}}=\mathrm{0,2}-\mathrm{1,6}=-\mathrm{1,4}<0$

$Q^{\mathrm{\prime }}(20)={\displaystyle \frac{20}{25}}-{\displaystyle \frac{40}{400}}=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,7}>0$



Calculamos el coste medio en ese punto.

$Q(10)={\displaystyle \frac{100}{50}}+8+{\displaystyle \frac{40}{10}}=2+8+4=14$

Hay que producir 10 mesas para que el coste medio sea mínimo, y ese coste medio es de 14 € por mesa. Los valores del apartado a) lo confirman: con 5 mesas el coste medio es de 16,50 € y con 20 es de 18 €, los dos por encima de los 14 €.