Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2020 (convocatoria ordinaria)

Dado el sistema siguiente:

$\{\begin{array}{l}x+(a+1)y=1,\\ ax+2y=-2.\end{array}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $a$. [6 puntos]

b) Resuélvalo para $a=-2$. [4 puntos]

En una empresa se pueden producir hasta 500 mesas cada mes. La función de costes en relación con el número $q$ de mesas producidas es

$C(q)={\displaystyle \frac{q^3}{50}}+8q+40.$

Si $q$ es el número de mesas producidas, el coste medio de cada mesa se expresa mediante la función

$Q(q)={\displaystyle \frac{C(q)}{q}}\mathrm{.}$

a) Calcule el coste medio de cada mesa si la empresa produce 5. ¿Y si produce 20? [3 puntos]

b) Determine cuántas mesas hay que producir para que el coste medio sea mínimo. Justifique que se trata efectivamente de un mínimo y calcule este coste medio. [7 puntos]

Dadas las funciones $f(x)=-x^2+5$ y $g(x)=x^2-a$, donde $a\in \mathbb{R}$.

a) Encuentre todos los posibles valores de $a$ para que $f(x)$ y $g(x)$ se corten. [3 puntos]

b) Para $a=3$, dibuje el recinto cerrado entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, identificando los puntos de intersección. [3 puntos]

c) Para $a=3$, calcule el área de este recinto interior. [4 puntos]

En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,4 años. Se sabe que la desviación típica de la población normal de la cual procede esta muestra es de 2 años.

a) Obtenga un intervalo de confianza al 95 % para la edad media de la población. [5 puntos]

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la edad media con un nivel de confianza del 99 %, el error cometido sea inferior a 0,5 años? [5 puntos]

Un trayecto de 600 km se ha de hacer combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 0,5 euros/km; el del ferrocarril, de 0,2 euros/km, y el del autobús, de 0,1 euros/km. El recorrido nos ha costado 150 euros, y se sabe que se han hecho el doble de kilómetros con ferrocarril que con taxi y autobús juntos. Determine las distancias que se han recorrido con cada medio de transporte. [10 puntos]

Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, A y B. Para hacer una hornada de pasteles del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de pasteles del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Se sabe que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 euros y de 30 euros al vender una hornada del tipo B.

a) Plantee la maximización del beneficio del pastelero como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Determine cuántas hornadas de cada tipo ha de hacer y vender el pastelero para maximizar sus beneficios. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

Consideremos una función $f(x)$ tal que su primera derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+bx+4$, en la que $b$ es un parámetro real.

a) Determine el valor de $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x=-1$ y razone si se trata de un máximo o de un mínimo. [4 puntos]

b) Suponiendo que $b=1$, encuentre una primitiva de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, es decir, $\int f^{\mathrm{\prime }}(x)dx$. [3 puntos]

c) Utilice la primitiva anterior para encontrar $f(x)$ para $b=1$ sabiendo que $f(2)=-1$. [3 puntos]

Una almazara recibe cajas de aceitunas de dos productoras, A y B, que cultivan dos variedades, picual y arbequina. El 40 % de las aceitunas proviene de la productora A, y de estas el 60 % es de la variedad picual. De las que provienen de la productora B, el 30 % es de la variedad arbequina. Se elige una caja de aceitunas al azar.

a) Interprete los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas. [2 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad picual? [4 puntos]

c) Si se sabe que es de la variedad picual, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la productora A? [4 puntos]