Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, A y B. Para hacer una hornada de pasteles del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de pasteles del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Se sabe que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 euros y de 30 euros al vender una hornada del tipo B.

a) Plantee la maximización del beneficio del pastelero como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Determine cuántas hornadas de cada tipo ha de hacer y vender el pastelero para maximizar sus beneficios. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pastelero}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de hornadas del tipo A e $y$ al número de hornadas del tipo B.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Harina (kg)}$	$\text{Az}\acute{\text{u}}\text{car (kg)}$	$\text{Mantequilla (kg)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Tipo A }(x)$	$3x$	$x$	$x$	$20x$ $\text{Tipo B }(y)$	$6y$	$\mathrm{0,5}y$	$y$	$30y$ $\text{Disponible}$	150	22	26	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=20x+30y$

Las restricciones salen de los tres ingredientes.

Hay 150 kg de harina $\Rightarrow$ $3x+6y\le 150$, que dividiendo entre 3 queda $x+2y\le 50$.

Hay 22 kg de azúcar $\Rightarrow$ $x+\mathrm{0,5}y\le 22$, que multiplicando por 2 queda $2x+y\le 44$.

Hay 26 kg de mantequilla $\Rightarrow$ $x+y\le 26$.

El número de hornadas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

$\text{Maximizar }B(x,y)=20x+30y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}x+2y\le 50\\ 2x+y\le 44\\ x+y\le 26\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{delimitan.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dibujamos las tres rectas con una tabla de valores de cada una.

$x+2y=50$	$2x+y=44$	$x+y=26$ $(0,25)$	$(0,44)$	$(0,26)$ $(50,0)$	$(22,0)$	$(26,0)$

La región factible es la zona coloreada en azul, un pentágono.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}x+2y=50\\ x=0\end{array}\Rightarrow 2y=50\Rightarrow y=25\Rightarrow A(0,25)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}x+2y=50\\ x+y=26\end{array}$ $\Rightarrow$ restamos las dos ecuaciones:

$(x+2y)-(x+y)=50-26\Rightarrow y=24\Rightarrow x=26-24=2\Rightarrow B(2,24)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}x+y=26\\ 2x+y=44\end{array}$ $\Rightarrow$ restamos:

$(2x+y)-(x+y)=44-26\Rightarrow x=18\Rightarrow y=26-18=8\Rightarrow C(18,8)$

Vértice $D$: $\{\begin{array}{l}2x+y=44\\ y=0\end{array}\Rightarrow 2x=44\Rightarrow x=22\Rightarrow D(22,0)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{hornadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pastelero}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{beneficios.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Valoramos la función beneficio en los cinco vértices.

$O(0,0)\Rightarrow B=0$

$A(0,25)\Rightarrow B=30\cdot 25=750$

$B(2,24)\Rightarrow B=20\cdot 2+30\cdot 24=40+720=760$

$C(18,8)\Rightarrow B=20\cdot 18+30\cdot 8=360+240=600$

$D(22,0)\Rightarrow B=20\cdot 22=440$

Ha de hacer 2 hornadas del tipo A y 24 del tipo B, y el beneficio máximo es de 760 €. Con esa combinación se agotan la harina, $3\cdot 2+6\cdot 24=150$ kg, y la mantequilla, $2+24=26$ kg, y sobran $22-(2+12)=8$ kg de azúcar.