Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2024 (convocatoria extraordinaria)

Tienes un pequeño negocio que vende pantalones y camisas. El precio de cada pantalón es de 60 € y el precio de cada camisa es de 40 €.

a) Esta semana se han vendido un total de 100 unidades entre pantalones y camisas, y hemos tenido unos ingresos totales de 5400 €. ¿Cuántos pantalones y cuántas camisas hemos vendido? [5 puntos]

b) Hace tres semanas se vendieron un total de 110 unidades entre pantalones y camisas, y un empleado que revisó la caja dijo que los ingresos totales eran de 4200 €… pero tú no crees al empleado. ¿Cuántos pantalones y cuántas camisas se habrían tenido que vender según lo que dice el empleado? Interprete el resultado obtenido. [5 puntos]

Considere las matrices siguientes:

$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 8\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}x& -3\\ -5& 2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}y& z\\ 7& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Sabemos que existe un valor $x$ tal que $B$ es la inversa de $A$. ¿Cuál es este valor $x$? [3 puntos]

b) Para el valor $x$ del apartado anterior, calcule $(A+I)(B-I)+(A-I)(B+I)$. [4 puntos]

c) ¿Existen algunos valores para $y$ y $z$ de manera que $C$ sea la inversa de $A$? [3 puntos]

Una empresa produce dos tipos de productos: aspiradoras y baterías eléctricas.

— Para producir una aspiradora, necesitamos 5 h de un operario y 4 kg de materias primas.

— Para producir una batería, necesitamos 1 h de un operario y 1 kg de materias primas.

Cada aspiradora se vende por 100 € y cada batería, por 22 €. Disponemos de un máximo de 110 horas de operarios y de 100 kg de materias primas. Supondremos que venderemos toda la producción.

a) ¿Cuántas unidades de cada tipo hemos de producir para maximizar los ingresos? [8 puntos]

b) Si el precio de venta de las aspiradoras va disminuyendo, habrá un momento en que será más rentable fabricar solo baterías. Calcule cuál es el precio de venta que han de tener las aspiradoras para que el máximo beneficio total se dé cuando solo producimos baterías. [2 puntos]

Considere la función $f(x)=e^x-e^{-x}$, para $x\ge 0$.

a) Calcule el valor de la función en los extremos del dominio. [3 puntos]

b) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ y $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$. [4 puntos]

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$. [3 puntos]

Según un estudio de mercado, la cantidad de gente que asistirá a un espectáculo, $g$ (en número de personas), en función del precio de la entrada, $p$ (en €), será la siguiente:

$g(p)=\{\begin{array}{ll}500,& \text{para }p=0,\\ 300-3p,& \text{para }0<p<100,\\ 0,& \text{para }p=100.\end{array}$

a) ¿Cuál es el dominio de $g(p)$? ¿Es esta función continua? [3 puntos]

b) Según el estudio de mercado, si asisten 240 personas, ¿cuál habrá sido el precio de la entrada? [2 puntos]

c) Los ingresos son el producto del precio por la cantidad de gente que asistirá. Según el estudio, ¿qué precio maximiza los ingresos? [5 puntos]

Un estudio de mercado indica que unos clientes determinados tienen un 7 % de probabilidades de comprar un producto $A$, y un 10 % de probabilidades de comprar un producto $B$.

a) Si la probabilidad de «comprar $A$ y no comprar $B$» es de un 6 %, ¿son independientes los sucesos «comprar $A$» y «comprar $B$»? [5 puntos]

b) Si los sucesos «comprar $A$» y «comprar $B$» fuesen independientes, ¿qué sería mayor: la probabilidad de «no comprar $A$», o la probabilidad de «no comprar $A$, sabiendo que se ha comprado $B$»? [5 puntos]

Según los datos del Instituto Nacional de Estadística (INE), el 1 de enero de 2023 en las Islas Baleares había 1.210.000 habitantes en total. Además, el número de viviendas, en función del número de habitantes que convivían en ellas, era el siguiente:

Número de convivientes	1	2	3	4 o más Número de viviendas	118.000	124.000	93.000	119.000

a) ¿Cuál es el número medio de convivientes por vivienda? [2 puntos]

b) ¿Cuántos habitantes pertenecen a una vivienda en la que hay 4 o más convivientes? ¿Cuál es el número medio de convivientes en las viviendas en las que hay 4 o más convivientes? [2 puntos]

c) Escogiendo un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que viva en una vivienda unipersonal? Justifique su respuesta. [3 puntos]

d) Escogiendo, de manera independiente, dos habitantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos viva en una vivienda unipersonal? Justifique su respuesta. [3 puntos]

Una empresa que fabrica componentes electrónicos realiza un estudio sobre la vida útil de sus productos. Con una muestra aleatoria de 50 componentes electrónicos, el tiempo medio de vida útil es de 507 horas. Supongamos que el tiempo de vida útil sigue una distribución normal y que su desviación típica es conocida e igual a 150 horas.

a) Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional de la vida útil de los componentes con un nivel de confianza del 75 %. [5 puntos]

b) Suponiendo ahora que la media poblacional es de $\mu =500$ horas, ¿cuántas horas de vida útil tiene el 10 % de productos que menos vida útil tienen? [5 puntos]