Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Considere la función $f(x)=e^x-e^{-x}$, para $x\ge 0$.

a) Calcule el valor de la función en los extremos del dominio. [3 puntos]

b) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ y $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$. [4 puntos]

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$. [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El dominio que fija el enunciado es $[0,+\mathrm{\infty })$. El extremo izquierdo pertenece al dominio, así que se evalúa directamente recordando que $e^0=1$.

$f(0)=e^0-e^{-0}=1-1=0$

Por la derecha el dominio no está acotado, de modo que hay que calcular el límite. Se estudia cada sumando por separado.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{e}^x=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-x}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{e^x}}=0$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(e^x-e^{-x})=+\mathrm{\infty }-0=+\mathrm{\infty }$

En el extremo izquierdo la función vale $f(0)=0$, y en el derecho tiende a $+\mathrm{\infty }$. La función no tiene asíntota horizontal.



Derivamos cada sumando. Hay que aplicar la regla de la cadena en el segundo, cuyo exponente es $-x$ y tiene derivada $-1$.

${\left(e^x\right)}^{\mathrm{\prime }}=e^x,{\left(e^{-x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-(-e^{-x})=e^x+e^{-x}$

Volvemos a derivar con las mismas reglas.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x+(-e^{-x})=e^x-e^{-x}$

Por tanto $f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+e^{-x}$ y $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x-e^{-x}$. Conviene fijarse en dos cosas: la segunda derivada coincide con la función de partida, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$, y la primera derivada es suma de dos exponenciales, luego es siempre positiva y la función es creciente en todo su dominio.



Buscamos primero una primitiva. Las mismas reglas de antes, leídas al revés, dan las dos integrales que hacen falta.

$\int e^{x}dx=e^x+C,\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C$

$\int (e^x-e^{-x})dx=e^x-(-e^{-x})=e^x+e^{-x}$

Nótese que la primitiva es justamente $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, lo que era de esperar porque en el apartado b) hemos visto que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=f$. Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx={[e^x+e^{-x}]}_0^1$

$=(e^1+e^{-1})-(e^0+e^0)=e+{\displaystyle \frac{1}{e}}-2$

$e\approx \mathrm{2,7183},{\displaystyle \frac{1}{e}}\approx \mathrm{0,3679}$

${\int }_0^{1}f(x)dx=e+{\displaystyle \frac{1}{e}}-2\approx \mathrm{1,0862}$

El valor de la integral es $e+1\mathrm{/}e-2\approx \mathrm{1,0862}$ unidades de área. Es positivo, como tenía que ser, porque en el intervalo $[0,1]$ la función es creciente y arranca en 0, de manera que el recinto queda por encima del eje de abscisas.