Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2026 (convocatoria extraordinaria)

En una región, la probabilidad de que un día determinado se inicie un incendio forestal depende de la estación del año: cada día durante el verano esta probabilidad es de 0,09, en otoño es de 0,05, en invierno es de 0,02, y en primavera es de 0,08. Escogeremos un día al azar y supondremos que la probabilidad de que la estación del año sea una u otra es la misma.

a) Escogiendo un día del año al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se inicie un incendio forestal? [1 punto]

b) Escogiendo un día del año al azar, considere los sucesos siguientes: $A$, se inicia un incendio forestal este día; $B$, este día es de primavera. ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? [1 punto]

En un estudio se sugirió que el tiempo que cada joven de una población dedica al día a las redes sociales sigue una distribución normal, de media 116 minutos y desviación típica 42 minutos.

a) ¿Qué proporción de jóvenes de esta población dedica entre 100 y 200 minutos a las redes sociales? [1 punto]

b) Juan es del 10 % de jóvenes que más tiempo dedica a las redes sociales. ¿Cuántos minutos les dedica? [1 punto]

Datos de la tabla de la distribución normal $N(0,1)$: $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,38})=\mathrm{0,6480}$, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,8997}$, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,00})=\mathrm{0,9772}$.

En una sala de operaciones podemos llevar a cabo dos tipos de operaciones:

— Tipo A: necesita 4 apósitos, 2 catéteres, y tiene una duración de 0,5 horas.

— Tipo B: necesita 6 apósitos, 1 catéter, y tiene una duración de 1 hora.

Necesitamos hacer al menos 10 operaciones en total, y disponemos solo de 60 apósitos y 26 catéteres. ¿Cuántas operaciones de cada tipo hemos de hacer para maximizar las horas de uso de la sala de operaciones? [3 puntos]

Para cualquier valor del parámetro $x$ podemos encontrar tres matrices, $A$, $B$, $C$, de tamaño $3\times 3$, de manera que siempre se satisfacen las igualdades siguientes:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 2\\ -2& x& x\\ 0& 6& 2\end{array}\right),A\cdot B=\mathrm{I}\mathrm{d},B\cdot (C+C)=\mathrm{I}\mathrm{d}\mathrm{.}$

a) ¿Para qué valores del parámetro $x$ se cumple $A\cdot A=\mathrm{I}\mathrm{d}$? [1 punto]

b) Determine $C$ en función de $x$. [2 puntos]

La altura media en España se ha incrementado en los últimos 200 años por factores como la alimentación y la salud. Hace 200 años, la altura media en España era de 157 cm. Actualmente es de 169 cm. Aproximaremos la altura media en España con la función $f(t)$, en cm, siguiente:

$f(t)=169+t\cdot m,$

donde $m$ es una constante desconocida y $t$ es la variable que indica los años que han pasado desde hoy en día. Es decir, $f(0)$ representa la altura media hoy en día, y $f(-200)$ representa la altura media hace 200 años.

a) Calcule el valor del parámetro $m$. [1 punto]

b) Según nuestra función $f(t)$, ¿cuál será la altura media de aquí a 50 años? [1 punto]

c) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(0)$. ¿Qué representa este valor? [1 punto]

Considere la función $f(x)=\ln (2x)$, para $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica, el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]

b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto $x=1$. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]