Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2023 (convocatoria ordinaria)

Queremos contratar una empresa de gestión de entre las siguientes:

— La empresa $A$ nos cobra 150 € de coste base, y adicionalmente 5 € por cada cliente y 3 € por cada factura que emite.

— La empresa $B$ nos cobra 300 € de coste base, 10 € por cada cliente, y no cobra por emitir facturas.

— La empresa $C$ nos cobra 100 € de coste base, no cobra en función del número de clientes, pero cobra 5 € por cada factura que emite.

a) Si el año pasado tuvimos 50 clientes y, en total, emitimos 180 facturas, ¿qué empresa nos habría costado menos contratar? [3 puntos]

De cara al año que viene, tenemos una previsión de $x$ clientes y $y$ facturas. Con esta previsión, la empresa $A$ nos costaría 1050 € y la empresa $B$ nos costaría 900 €.

b) Calcule el número de clientes $x$ y el número de facturas $y$ previstos. [5 puntos]

c) Con $x$ clientes y $y$ facturas, ¿cuánto nos costaría la empresa $C$? [2 puntos]

Un camión transporta una carga de exactamente 12 metros cúbicos de volumen y, como máximo, un peso de 18 toneladas. Puede transportar:

— Arena, que pesa 1,6 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 80 € por metro cúbico.

— Grava, que pesa 1,8 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 100 € por metro cúbico.

— Ceniza, que pesa 0,5 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 25 € por metro cúbico.

Nos interesa calcular el precio más alto que podrá facturar en un viaje. Para hacerlo, se pide:

a) Plantee la maximización de este precio como un problema de programación lineal con dos variables. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de toneladas de cada material que se han de transportar para alcanzar el precio máximo, y determine también este precio máximo. [2 puntos]

La potencia generada por una placa solar, $P$ (medida en kW), depende del tiempo transcurrido, $t$ (medido en horas), según la expresión siguiente:

$P(t)=\{\begin{array}{ll}0& \text{para }0\le t<8,\\ -2t^2+52t+c& \text{para }8\le t<18,\\ 0& \text{para }18\le t\le 24,\end{array}$

donde $c$ es un parámetro real.



a) Teniendo en cuenta que la función es continua, ¿cuál es el valor del parámetro $c$? [3 puntos]

b) Teniendo en cuenta que el valor máximo se alcanza a las 13 horas, calcule con la expresión dada cuál es la potencia en ese momento. [3 puntos]

c) ¿En qué intervalos es creciente la función? ¿En qué intervalos es decreciente? [4 puntos]

Consideremos el peso de un adulto, $p$ (en kg), y su metabolismo basal, $m$ (en vatios). Un investigador nos proporciona el modelo siguiente:

$p(m)=\mathrm{0,1}\cdot m^{\mathrm{1,5}},m\in (0,+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

a) Haga una gráfica esquemática de la función $p(m)$, indicando el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales. [7 puntos]

b) Encuentre la función que da el metabolismo basal en función del peso, $m(p)$ (es decir, aísle la variable $m$). [3 puntos]

Considere las funciones:

$f(x)=(x+2{)}^3,g(x)=x^3+6x^2+12x\mathrm{.}$

a) Justifique, calculando, que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)$. [4 puntos]

b) ¿Es cierto que $f(x)=g(x)$? [3 puntos]

c) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}}$. [3 puntos]

Manel escoge al azar dos cifras entre 0 y 9, que podrían estar repetidas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cifras sean múltiplo de tres? [3 puntos]

b) El producto de las dos cifras es múltiplo de tres si al menos una de las cifras es múltiplo de tres. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las dos cifras sea múltiplo de tres? [4 puntos]

Ahora, Pep te da su número de teléfono, que contiene nueve cifras también entre 0 y 9, posiblemente repetidas, y que supondremos que son cifras escogidas al azar.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las nueve cifras sea múltiplo de tres? [3 puntos]

De un total de $n=80$ alumnos, el 80 % de alumnos han aprobado un examen de matemáticas, y el 75 % han aprobado un examen de física. Además, de los que han suspendido el examen de matemáticas, solo un 50 % ha aprobado el de física.

a) De los que han suspendido el examen de física, ¿cuántos han aprobado el de matemáticas? [4 puntos]

b) ¿Cuántos alumnos han aprobado alguno de los dos exámenes? [3 puntos]

c) ¿Aprobar el examen de física y aprobar el examen de matemáticas son sucesos independientes? [3 puntos]

Para estudiar la vida de las tortugas marinas, hemos recopilado la edad que alcanzaron algunos ejemplares que murieron por causas naturales, y hemos obtenido (en años):

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$x_8$	$\bar{x}$ 55	62	69	70	72	77	94	103	75,25

Suponiendo que estos datos siguen una distribución normal, y que su desviación típica poblacional es de $\sigma =20$ años,

a) Calcule el intervalo de confianza para la media poblacional con el 90 % de confianza. [4 puntos]

Supongamos ahora, además, que la media poblacional es de $\mu =\mathrm{75,25}$.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida? [3 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida, pero no los 100 años de vida? [3 puntos]