Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Para estudiar la vida de las tortugas marinas, hemos recopilado la edad que alcanzaron algunos ejemplares que murieron por causas naturales, y hemos obtenido (en años):

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$x_8$	$\bar{x}$ 55	62	69	70	72	77	94	103	75,25

Suponiendo que estos datos siguen una distribución normal, y que su desviación típica poblacional es de $\sigma =20$ años,

a) Calcule el intervalo de confianza para la media poblacional con el 90 % de confianza. [4 puntos]

Supongamos ahora, además, que la media poblacional es de $\mu =\mathrm{75,25}$.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida? [3 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida, pero no los 100 años de vida? [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La muestra tiene $n=8$ ejemplares y su media, que nos da el enunciado, es $\bar{x}=\mathrm{75,25}$ años. La desviación típica poblacional es conocida, $\sigma =20$ años, de manera que la media de la muestra se distribuye así:

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}),{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{20}{\sqrt{8}}}\approx \mathrm{7,07}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Buscamos el valor crítico. Con una confianza del 90 % queda fuera el 10 %, repartido entre las dos colas.

$1-\alpha =\mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor 0,95 cae justo entre dos filas, de modo que se toma el punto medio.

$z$	$P(Z\le z)$ 1,64	0,9495 1,65	0,9505

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,64}+\mathrm{1,65}}{2}}=\mathrm{1,645}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{20}{\sqrt{8}}}\approx \mathrm{1,645}\cdot \mathrm{7,071}\approx \mathrm{11,63}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

$IC=(\mathrm{75,25}-\mathrm{11,63},\mathrm{75,25}+\mathrm{11,63})=(\mathrm{63,62},\mathrm{86,88})$

Con una confianza del 90 %, la vida media de las tortugas marinas está entre 63,62 y 86,88 años. El intervalo es ancho porque la muestra es de solo 8 ejemplares.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tortuga}}\mathbf{\text{marina}}\mathbf{\text{supere}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vida?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora se trabaja con la variable individual, no con la media de la muestra.

$X\sim N(\mathrm{75,25};20)$

Tipificamos para poder usar la tabla.

$P(X>80)=P(Z>{\displaystyle \frac{80-\mathrm{75,25}}{20}})=P(Z>\mathrm{0,2375})\approx P(Z>\mathrm{0,24})$

La tabla da la probabilidad acumulada, así que se pasa a la cola de la derecha restando de 1.

$P(Z>\mathrm{0,24})=1-P(Z\le \mathrm{0,24})=1-\mathrm{0,5948}=\mathrm{0,4052}$

La probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida es de $\mathrm{0,4052}$, es decir, un 40,52 %.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tortuga}}\mathbf{\text{marina}}\mathbf{\text{supere}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vida,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vida?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide la probabilidad del intervalo $(80,100)$, de modo que se tipifican los dos extremos.

${\displaystyle \frac{80-\mathrm{75,25}}{20}}=\mathrm{0,2375}\approx \mathrm{0,24},{\displaystyle \frac{100-\mathrm{75,25}}{20}}=\mathrm{1,2375}\approx \mathrm{1,24}$

$P(80<X<100)=P(\mathrm{0,24}<Z<\mathrm{1,24})=P(Z\le \mathrm{1,24})-P(Z\le \mathrm{0,24})$

Leemos las dos probabilidades acumuladas en la tabla.

$P(Z\le \mathrm{1,24})=\mathrm{0,8925},P(Z\le \mathrm{0,24})=\mathrm{0,5948}$

$P(80<X<100)=\mathrm{0,8925}-\mathrm{0,5948}=\mathrm{0,2977}$

La probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años pero no los 100 es de $\mathrm{0,2977}$, es decir, un 29,77 %. Comparando con el apartado b), de las tortugas que pasan de 80 años casi tres cuartas partes no llegan a los 100.