Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un camión transporta una carga de exactamente 12 metros cúbicos de volumen y, como máximo, un peso de 18 toneladas. Puede transportar:

— Arena, que pesa 1,6 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 80 € por metro cúbico.

— Grava, que pesa 1,8 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 100 € por metro cúbico.

— Ceniza, que pesa 0,5 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 25 € por metro cúbico.

Nos interesa calcular el precio más alto que podrá facturar en un viaje. Para hacerlo, se pide:

a) Plantee la maximización de este precio como un problema de programación lineal con dos variables. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de toneladas de cada material que se han de transportar para alcanzar el precio máximo, y determine también este precio máximo. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{variables.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hay tres materiales, pero el volumen transportado ha de ser exactamente 12 metros cúbicos, y eso permite quedarse con dos incógnitas: la tercera cantidad se obtiene de las otras dos.

Llamamos $x$ a los metros cúbicos de arena e $y$ a los metros cúbicos de grava. Entonces los de ceniza son $12-x-y$.

$\text{Material}$	${\text{Volumen (m}}^3)$	$\text{Peso (t)}$	$\text{Precio (€)}$ Arena	$x$	$\mathrm{1,6}x$	$80x$ Grava	$y$	$\mathrm{1,8}y$	$100y$ Ceniza	$12-x-y$	$\mathrm{0,5}(12-x-y)$	$25(12-x-y)$

La función objetivo es el precio facturado, y hay que maximizarla.

$P(x,y)=80x+100y+25(12-x-y)$

$P(x,y)=80x+100y+300-25x-25y=55x+75y+300$

La restricción de peso es que el total no pase de 18 toneladas.

$\mathrm{1,6}x+\mathrm{1,8}y+\mathrm{0,5}(12-x-y)\le 18$

$\mathrm{1,6}x+\mathrm{1,8}y+6-\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,5}y\le 18\Rightarrow \mathrm{1,1}x+\mathrm{1,3}y\le 12$

Las tres cantidades han de ser mayores o iguales que cero, y de la de ceniza sale una restricción más.

$x\ge 0;y\ge 0;12-x-y\ge 0\Rightarrow x+y\le 12$

$\text{Maximizar }P(x,y)=55x+75y+300\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}\mathrm{1,1}x+\mathrm{1,3}y\le 12\\ x+y\le 12\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{delimitan.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dibujamos las dos rectas y hacemos una tabla de valores de cada una.

$\mathrm{1,1}x+\mathrm{1,3}y=12\Rightarrow y={\displaystyle \frac{12-\mathrm{1,1}x}{\mathrm{1,3}}}$

$x+y=12\Rightarrow y=12-x$

$\mathrm{1,1}x+\mathrm{1,3}y=12$	$x+y=12$ $(0;\mathrm{9,23})$	$(0;12)$ $(\mathrm{10,91};0)$	$(12;0)$

La recta del peso queda por debajo de la del volumen en todo el primer cuadrante, así que la restricción $x+y\le 12$ no llega a delimitar el recinto: se cumple siempre que se cumple la del peso. La región factible es la zona coloreada en azul, un triángulo.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$, que corresponde a cargar solo ceniza.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}\mathrm{1,1}x+\mathrm{1,3}y=12\\ x=0\end{array}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{12}{\mathrm{1,3}}}={\displaystyle \frac{120}{13}}\approx \mathrm{9,23}\Rightarrow A(0;{\displaystyle \frac{120}{13}})$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}\mathrm{1,1}x+\mathrm{1,3}y=12\\ y=0\end{array}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{12}{\mathrm{1,1}}}={\displaystyle \frac{120}{11}}\approx \mathrm{10,91}\Rightarrow B({\displaystyle \frac{120}{11}};0)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{toneladas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{transportar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Valoramos la función precio en los tres vértices.

$O(0,0)\Rightarrow P=55\cdot 0+75\cdot 0+300=300$

$B({\displaystyle \frac{120}{11}};0)\Rightarrow P=55\cdot {\displaystyle \frac{120}{11}}+300=600+300=900$

$A(0;{\displaystyle \frac{120}{13}})\Rightarrow P=75\cdot {\displaystyle \frac{120}{13}}+300={\displaystyle \frac{9000}{13}}+300={\displaystyle \frac{12900}{13}}\approx \mathrm{992,31}$

El máximo se alcanza en $A$, es decir, cargando solo grava y ceniza, sin arena. Los volúmenes son

$x=0{\text{m}}^3\text{ de arena},y={\displaystyle \frac{120}{13}}\approx \mathrm{9,23}{\text{m}}^3\text{ de grava}$

$12-x-y=12-{\displaystyle \frac{120}{13}}={\displaystyle \frac{156-120}{13}}={\displaystyle \frac{36}{13}}\approx \mathrm{2,77}{\text{m}}^3\text{ de ceniza}$

El enunciado pide toneladas, así que multiplicamos cada volumen por su densidad.

$\text{Grava}:\mathrm{1,8}\cdot {\displaystyle \frac{120}{13}}={\displaystyle \frac{216}{13}}\approx \mathrm{16,62}\text{ t}$

$\text{Ceniza}:\mathrm{0,5}\cdot {\displaystyle \frac{36}{13}}={\displaystyle \frac{18}{13}}\approx \mathrm{1,38}\text{ t}$

${\displaystyle \frac{216}{13}}+{\displaystyle \frac{18}{13}}={\displaystyle \frac{234}{13}}=18\text{ t}$

Hay que transportar 0 toneladas de arena, $216\mathrm{/}13\approx \mathrm{16,62}$ toneladas de grava y $18\mathrm{/}13\approx \mathrm{1,38}$ toneladas de ceniza, con lo que se agotan exactamente las 18 toneladas de peso y los 12 metros cúbicos de volumen. El precio máximo facturable es de $12900\mathrm{/}13\approx \mathrm{992,31}$ €.