Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un ayuntamiento concede licencias para la construcción de una urbanización de, como máximo, 120 viviendas, de dos tipos, A y B. Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100000 euros y el de tipo B de 300000 euros. El beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A es de 20000 euros y por la venta de una de tipo B es de 40000 euros.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de viviendas de cada tipo que se han de construir para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de viviendas de tipo A e $y$ al número de viviendas de tipo B.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado, con las cantidades en euros.

$$	$\text{Viviendas}$	$\text{Coste (€)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Tipo A }(x)$	$x$	$100000x$	$20000x$ $\text{Tipo B }(y)$	$y$	$300000y$	$40000y$ $\text{Disponible}$	120	15 000 000	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=20000x+40000y$

Las restricciones son la licencia municipal y el capital.

Como máximo 120 viviendas $\Rightarrow$ $x+y\le 120$.

Como máximo 15 millones de euros $\Rightarrow$ $100000x+300000y\le 15000000$, que dividiendo entre 100 000 queda $x+3y\le 150$.

El número de viviendas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

$\text{Maximizar }B(x,y)=20000x+40000y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}x+y\le 120\\ x+3y\le 150\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{delimitan.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dibujamos las dos rectas con una tabla de valores de cada una.

$x+y=120$	$x+3y=150$ $(0,120)$	$(0,50)$ $(120,0)$	$(150,0)$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}x+3y=150\\ x=0\end{array}\Rightarrow 3y=150\Rightarrow y=50\Rightarrow A(0,50)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}x+y=120\\ x+3y=150\end{array}$ $\Rightarrow$ restamos las dos ecuaciones:

$(x+3y)-(x+y)=150-120\Rightarrow 2y=30\Rightarrow y=15$

$x=120-15=105\Rightarrow B(105,15)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}x+y=120\\ y=0\end{array}\Rightarrow x=120\Rightarrow C(120,0)$

El punto $(150,0)$, donde la recta del capital corta el eje de abscisas, no es vértice del recinto: la licencia no permite construir más de 120 viviendas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{viviendas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Valoramos la función beneficio en los cuatro vértices.

$O(0,0)\Rightarrow B=0$

$A(0,50)\Rightarrow B=40000\cdot 50=2000000$

$B(105,15)\Rightarrow B=20000\cdot 105+40000\cdot 15=2100000+600000=2700000$

$C(120,0)\Rightarrow B=20000\cdot 120=2400000$

Se han de construir 105 viviendas de tipo A y 15 de tipo B, y el beneficio máximo es de 2 700 000 €, es decir, 2,7 millones de euros. Con esa combinación se agotan las dos restricciones: $105+15=120$ viviendas y $100000\cdot 105+300000\cdot 15=10500000+4500000=15000000$ € de capital.