Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un taller se fabrican dos tipos de bolsos. Para hacer un bolso del primer modelo se necesitan 0,9 ${\text{m}}^2$ de cuero y 8 horas de trabajo. Para el segundo modelo se necesitan 1,2 ${\text{m}}^2$ de cuero y 4 horas de trabajo. Para hacer estos dos tipos de bolsos el taller dispone de 60 ${\text{m}}^2$ de cuero y puede dedicarles un máximo de 400 horas de trabajo. El taller cobra 30 euros por un bolso del primer modelo y 25 por uno del segundo.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de bolsos de cada tipo que se han de fabricar para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de bolsos del primer modelo e $y$ al número de bolsos del segundo.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	${\text{Cuero (m}}^2)$	$\text{Horas}$	$\text{Ingresos (€)}$ $\text{Modelo 1 }(x)$	$\mathrm{0,9}x$	$8x$	$30x$ $\text{Modelo 2 }(y)$	$\mathrm{1,2}y$	$4y$	$25y$ $\text{Disponible}$	60	400	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=30x+25y$

Las restricciones son las de cuero y de horas de trabajo.

El taller dispone de 60 m² de cuero $\Rightarrow$ $\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,2}y\le 60$, que multiplicando por 10 y dividiendo entre 3 queda $3x+4y\le 200$.

Puede dedicar como máximo 400 horas $\Rightarrow$ $8x+4y\le 400$, que dividiendo entre 4 queda $2x+y\le 100$.

El número de bolsos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

$\text{Maximizar }B(x,y)=30x+25y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}3x+4y\le 200\\ 2x+y\le 100\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{delimitan.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dibujamos las dos rectas con una tabla de valores de cada una.

$3x+4y=200$	$2x+y=100$ $(0,50)$	$(0,100)$ $(40,20)$	$(40,20)$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}3x+4y=200\\ x=0\end{array}\Rightarrow 4y=200\Rightarrow y=50\Rightarrow A(0,50)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}3x+4y=200\\ 2x+y=100\end{array}$ $\Rightarrow$ despejamos $y=100-2x$ y sustituimos:

$3x+4(100-2x)=200\Rightarrow 3x+400-8x=200\Rightarrow -5x=-200\Rightarrow x=40$

$y=100-80=20\Rightarrow B(40,20)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}2x+y=100\\ y=0\end{array}\Rightarrow 2x=100\Rightarrow x=50\Rightarrow C(50,0)$

El punto $(200\mathrm{/}3;0)$, donde la recta del cuero corta el eje de abscisas, no es vértice del recinto: con esos bolsos harían falta más de las 400 horas disponibles.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bolsos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Valoramos la función beneficio en los cuatro vértices.

$O(0,0)\Rightarrow B=0$

$A(0,50)\Rightarrow B=25\cdot 50=1250$

$B(40,20)\Rightarrow B=30\cdot 40+25\cdot 20=1200+500=1700$

$C(50,0)\Rightarrow B=30\cdot 50=1500$

Se han de fabricar 40 bolsos del primer modelo y 20 del segundo, y el beneficio máximo es de 1700 €. Con esa combinación se agotan los dos recursos: $\mathrm{0,9}\cdot 40+\mathrm{1,2}\cdot 20=36+24=60$ m² de cuero y $8\cdot 40+4\cdot 20=320+80=400$ horas.