Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

De un total de $n=80$ alumnos, el 80 % de alumnos han aprobado un examen de matemáticas, y el 75 % han aprobado un examen de física. Además, de los que han suspendido el examen de matemáticas, solo un 50 % ha aprobado el de física.

a) De los que han suspendido el examen de física, ¿cuántos han aprobado el de matemáticas? [4 puntos]

b) ¿Cuántos alumnos han aprobado alguno de los dos exámenes? [3 puntos]

c) ¿Aprobar el examen de física y aprobar el examen de matemáticas son sucesos independientes? [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{suspendido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sica,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Lo más cómodo es traducir los porcentajes a número de alumnos y rellenar una tabla de doble entrada. Llamamos $M$ al suceso «aprobar matemáticas» y $F$ al suceso «aprobar física».

$n(M)=80\cdot \mathrm{0,80}=64\text{ alumnos}\Rightarrow n(\bar{M})=80-64=16$

$n(F)=80\cdot \mathrm{0,75}=60\text{ alumnos}\Rightarrow n(\bar{F})=80-60=20$

El tercer dato es una condicionada: de los 16 que suspendieron matemáticas, la mitad aprobó física.

$n(\bar{M}\cap F)=16\cdot \mathrm{0,50}=8\text{ alumnos}$

Con esa casilla ya se completa la tabla entera restando por filas y por columnas.

$n(M\cap F)=n(F)-n(\bar{M}\cap F)=60-8=52$

$n(\bar{M}\cap \bar{F})=n(\bar{M})-n(\bar{M}\cap F)=16-8=8$

$n(M\cap \bar{F})=n(\bar{F})-n(\bar{M}\cap \bar{F})=20-8=12$

$$	$\text{Aprueba f}\acute{\text{ı}}\text{sica}$	$\text{Suspende f}\acute{\text{ı}}\text{sica}$	$\text{Total}$ $\text{Aprueba matem}\acute{\text{a}}\text{ticas}$	52	12	64 $\text{Suspende matem}\acute{\text{a}}\text{ticas}$	8	8	16 $\text{Total}$	60	20	80

De los 20 alumnos que han suspendido física, 12 han aprobado matemáticas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ex}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{menes?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

«Alguno de los dos» es la unión, y se puede leer de la tabla de dos maneras. La más rápida es por el contrario: los que no han aprobado ninguno son los 8 de la casilla de abajo a la derecha.

$n(M\cup F)=80-n(\bar{M}\cap \bar{F})=80-8=72$

Se comprueba sumando las tres casillas que sí cuentan, o con la fórmula de la unión.

$n(M\cup F)=52+12+8=72$

$n(M\cup F)=n(M)+n(F)-n(M\cap F)=64+60-52=72$

Han aprobado alguno de los dos exámenes 72 alumnos de los 80.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Aprobar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Pasamos las frecuencias a probabilidades dividiendo entre el total de 80 alumnos.

$P(M)={\displaystyle \frac{64}{80}}=\mathrm{0,8},P(F)={\displaystyle \frac{60}{80}}=\mathrm{0,75},P(M\cap F)={\displaystyle \frac{52}{80}}=\mathrm{0,65}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(M)\cdot P(F)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,6}$

$P(M\cap F)=\mathrm{0,65}\mathrm{\ne }\mathrm{0,6}=P(M)\cdot P(F)$

Los dos sucesos no son independientes. Se ve igual de bien con la condicionada: entre los que aprobaron matemáticas la tasa de aprobados en física es $52\mathrm{/}64=\mathrm{0,8125}$, mientras que en el grupo entero es $\mathrm{0,75}$; haber aprobado matemáticas hace más probable haber aprobado física.