Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Tiramos dos dados no trucados. Considere los sucesos siguientes:

$A$: en el primer dado ha salido un 1.

$B$: en el segundo dado ha salido un 1.

$C$: la suma de los valores de los dos dados es 3.

a) Calcule $P(A)$. [3 puntos]

b) Calcule $P(A\cup B)$. [3 puntos]

c) ¿Son $C$ y $A\cup B$ sucesos independientes? [4 puntos]

Al tirar dos dados no trucados, el espacio muestral son los pares ordenados de resultados, y todos ellos son equiprobables.

$n(E)=6\cdot 6=36\text{ casos posibles}$

El suceso $A$ pide que el primer dado sea un 1; el segundo puede ser cualquiera de sus seis caras.

$n(A)=1\cdot 6=6\text{ casos favorables}$

$P(A)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$

La probabilidad de que en el primer dado salga un 1 es de $1\mathrm{/}6$, como era de esperar: el resultado del segundo dado no influye.



Por el mismo razonamiento del apartado a), $P(B)=1\mathrm{/}6$. Los dos sucesos no son incompatibles, porque pueden salir dos unos a la vez, así que hay que usar la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

La intersección es el suceso «sale un 1 en los dos dados», que es un único caso de los 36.

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{36}}$

$P(A\cup B)={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{6}{36}}+{\displaystyle \frac{6}{36}}-{\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$



La probabilidad de que salga al menos un 1 es de $11\mathrm{/}36\approx \mathrm{0,3056}$. Nótese que no es $2\mathrm{/}6$: si se sumasen las dos probabilidades sin más, el caso $(1,1)$ se contaría dos veces.



Primero se identifica el suceso $C$, que reúne los casos en los que la suma de los dos dados es 3.

$C=\{(1,2),(2,1)\}\Rightarrow P(C)={\displaystyle \frac{2}{36}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$

Ahora la intersección. Los dos casos de $C$ llevan un 1: en $(1,2)$ el 1 está en el primer dado, luego pertenece a $A$, y en $(2,1)$ está en el segundo, luego pertenece a $B$. Por tanto $C$ está enteramente contenido en $A\cup B$.

$C\subset A\cup B\Rightarrow C\cap (A\cup B)=C\Rightarrow P(C\cap (A\cup B))={\displaystyle \frac{1}{18}}$

Comparamos con el producto de las probabilidades.

$P(C)\cdot P(A\cup B)={\displaystyle \frac{1}{18}}\cdot {\displaystyle \frac{11}{36}}={\displaystyle \frac{11}{648}}\approx \mathrm{0,0170}$

$P(C\cap (A\cup B))={\displaystyle \frac{1}{18}}={\displaystyle \frac{36}{648}}\approx \mathrm{0,0556}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{11}{648}}$

No son independientes. La dependencia es total, de hecho: siempre que la suma vale 3 ha salido un 1, así que saber que ha ocurrido $C$ convierte en seguro el suceso $A\cup B$.

$P((A\cup B)\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{P(C\cap (A\cup B))}{P(C)}}={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}18}{1\mathrm{/}18}}=1\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{11}{36}}$