Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

De dos sucesos de un mismo espacio muestral se sabe que

$P(B\mid A)=\mathrm{0,9},P(A\mid B)=\mathrm{0,2},P(A)=\mathrm{0,1.}$

a) Calcule $P(A\cap B)$ y $P(B)$. [5 puntos]

b) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Razone la respuesta. [2 puntos]

c) Calcule $P(A\cap \bar{B})$, donde $\bar{B}$ representa el suceso complementario de $B$. [3 puntos]

Partimos de la definición de probabilidad condicionada, que relaciona las dos condicionadas del enunciado con la intersección.

$P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}},P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}$

De la primera se obtiene la intersección, porque $P(A)$ es dato.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mathrm{/}A)=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,09}$

Con la intersección ya calculada, la segunda igualdad permite despejar $P(B)$.

$P(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A\mathrm{/}B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}}{\mathrm{0,2}}}=\mathrm{0,45}$

Comprobamos que los valores son coherentes: la intersección no puede pasar de ninguna de las dos probabilidades, y $\mathrm{0,09}\le \mathrm{0,1}$ y $\mathrm{0,09}\le \mathrm{0,45}$.

$P(A\cap B)=\mathrm{0,09}\text{y}P(B)=\mathrm{0,45}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,45}=\mathrm{0,045}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,09}\mathrm{\ne }\mathrm{0,045}=P(A)\cdot P(B)$

No son independientes. Se ve igual de bien comparando la condicionada con la probabilidad a secas: $P(B\mathrm{/}A)=\mathrm{0,9}$ frente a $P(B)=\mathrm{0,45}$, de manera que saber que ha ocurrido $A$ duplica la probabilidad de $B$.



El suceso $A$ se descompone según ocurra o no $B$, y esos dos casos son incompatibles.

$A=(A\cap B)\cup (A\cap \bar{B})\Rightarrow P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \bar{B})$

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,1}-\mathrm{0,09}=\mathrm{0,01}$

La probabilidad pedida es $P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,01}$. Con ella queda repartida toda la probabilidad del espacio muestral entre las cuatro zonas.