Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

De dos sucesos de un mismo espacio muestral se sabe que

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1},P(\bar{A}\cap \bar{B})=\mathrm{0,6},P(A\mid B)=\mathrm{0,5},$

donde $\bar{A}$ y $\bar{B}$ denotan los sucesos complementarios de $A$ y $B$ respectivamente.

a) Calcule $P(B)$. [3 puntos]

b) Calcule $P(A\cup B)$. [3 puntos]

c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Razone la respuesta. [4 puntos]

Partimos de la definición de probabilidad condicionada, que relaciona el dato $P(A\mathrm{/}B)$ con la intersección, que también es dato.

$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\Rightarrow P(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A\mathrm{/}B)}}$

$P(B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,2}$

La probabilidad del suceso $B$ es $P(B)=\mathrm{0,2}$.



Aquí conviene reconocer el tercer dato del enunciado. Por las leyes de De Morgan, el suceso $\bar{A}\cap \bar{B}$ —no ocurre ninguno de los dos— es justamente el contrario de la unión.

$\bar{A}\cap \bar{B}=\overline{A\cup B}$

$P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

La probabilidad de la unión es $P(A\cup B)=\mathrm{0,4}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para decidirlo hace falta $P(A)$, que se obtiene de la fórmula de la probabilidad de la unión con los tres valores que ya tenemos.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,4}=P(A)+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,1}\Rightarrow P(A)=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,3}$

Con eso ya se puede repartir toda la probabilidad entre las cuatro zonas del espacio muestral.

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,3}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,2}$

$P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,1}$



Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,06}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1}\mathrm{\ne }\mathrm{0,06}=P(A)\cdot P(B)$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes. Se ve igual de bien comparando la condicionada con la probabilidad a secas: $P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,5}$ frente a $P(A)=\mathrm{0,3}$, de manera que saber que ha ocurrido $B$ aumenta la probabilidad de $A$.