Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El peso de las personas de un colegio mayor sigue una ley normal de media 70 kg y desviación típica 15 kg. Si escogemos al azar una persona del colegio, calcule la probabilidad de los sucesos siguientes:

a) Que su peso sea superior a 80 kg. [3 puntos]

b) Que su peso sea inferior a 50 kg. [3 puntos]

c) Que pese entre 60 y 120 kg. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $X$ al peso de una persona escogida al azar.

$X\sim N(70;15)$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-70}{15}}$

$P(X>80)=P(Z>{\displaystyle \frac{80-70}{15}})=P(Z>{\displaystyle \frac{10}{15}})=P(Z>\mathrm{0,6667})\approx P(Z>\mathrm{0,67})$

La tabla da probabilidades acumuladas, de modo que la cola de la derecha se obtiene restando de 1.

$P(Z>\mathrm{0,67})=1-P(Z\le \mathrm{0,67})=1-\mathrm{0,7486}=\mathrm{0,2514}$

La probabilidad de que su peso sea superior a 80 kg es de $\mathrm{0,2514}$, es decir, un 25,14 %.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$P(X<50)=P(Z<{\displaystyle \frac{50-70}{15}})=P(Z<{\displaystyle \frac{-20}{15}})=P(Z<-\mathrm{1,3333})\approx P(Z<-\mathrm{1,33})$

El valor es negativo y la tabla no lo recoge, así que se usa la simetría de la campana.

$P(Z<-\mathrm{1,33})=1-P(Z\le \mathrm{1,33})=1-\mathrm{0,9082}=\mathrm{0,0918}$

La probabilidad de que su peso sea inferior a 50 kg es de $\mathrm{0,0918}$, es decir, un 9,18 %.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Que}}\mathbf{\text{pese}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se tipifican los dos extremos del intervalo.

${\displaystyle \frac{60-70}{15}}=-\mathrm{0,6667}\approx -\mathrm{0,67},{\displaystyle \frac{120-70}{15}}=\mathrm{3,3333}\approx \mathrm{3,33}$

$P(60<X<120)=P(-\mathrm{0,67}<Z<\mathrm{3,33})=P(Z\le \mathrm{3,33})-P(Z\le -\mathrm{0,67})$

El extremo negativo se pasa a positivo por simetría, y ya se ha calculado en el apartado a).

$P(Z\le -\mathrm{0,67})=1-\mathrm{0,7486}=\mathrm{0,2514}$

$P(Z\le \mathrm{3,33})=\mathrm{0,9996}$

$P(60<X<120)=\mathrm{0,9996}-\mathrm{0,2514}=\mathrm{0,7482}$

La probabilidad de que pese entre 60 y 120 kg es de $\mathrm{0,7482}$, es decir, un 74,82 %. El extremo superior apenas aporta nada, porque 120 kg está a más de tres desviaciones típicas de la media.