Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

La producción en kilogramos de naranjas por naranjo en Sóller sigue una distribución normal de desviación típica 2 y media desconocida.

a) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la media poblacional con un nivel de confianza del 94 %, el error cometido sea inferior a 1,5 kg. [5 puntos]

b) Si se toma una muestra aleatoria de 10 naranjos, con producciones en kilogramos:

$302547045602132947$

calcule un intervalo de confianza del 97 % para estimar la producción media de naranjas por árbol. [5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tomar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{94}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{1,5}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La producción por naranjo sigue una normal de desviación típica conocida $\sigma =2$ kg, de manera que la media de una muestra de tamaño $n$ se distribuye así:

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

El error máximo admisible al estimar la media es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Buscamos el valor crítico para una confianza del 94 %.

$1-\alpha =\mathrm{0,94}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,03}\Rightarrow P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,97}$

$z$	$P(Z\le z)$ 1,87	0,9693 1,88	0,9699 1,89	0,9706

El valor más próximo a 0,97 es 0,9699, así que tomamos $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,88}$.

Imponemos ahora que el error sea inferior a 1,5 kg y despejamos $n$.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}<\mathrm{1,5}\Rightarrow \mathrm{1,88}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}<\mathrm{1,5}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{3,76}}{\sqrt{n}}}<\mathrm{1,5}\Rightarrow \sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{3,76}}{\mathrm{1,5}}}\approx \mathrm{2,5067}$

$n>{\mathrm{2,5067}}^2\approx \mathrm{6,28}$

El tamaño de la muestra ha de ser un número entero, y además cuanto mayor sea menor es el error, así que se redondea hacia arriba.

$n=7\text{ naranjos}$

Hay que tomar una muestra de al menos 7 naranjos. Con 7 el error es $\mathrm{1,88}\cdot 2\mathrm{/}\sqrt{7}\approx \mathrm{1,42}<\mathrm{1,5}$ kg, mientras que con 6 sería $\mathrm{1,88}\cdot 2\mathrm{/}\sqrt{6}\approx \mathrm{1,53}>\mathrm{1,5}$ kg.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{naranjos,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{producciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{kilogramos:}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">30</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">25</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">70</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">45</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">60</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">21</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">32</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">9</mn><mspace\; width="1em"><mn\; mathvariant="bold">47</mn></mspace></mspace></mspace></mspace></mspace></mspace></mspace></mspace></mspace></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{naranjas}}\mathbf{\text{por}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero se calcula la media de la muestra, que es el estimador de la media poblacional.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{30+25+4+70+45+60+21+32+9+47}{10}}={\displaystyle \frac{343}{10}}=\mathrm{34,3}\text{ kg}$

Ahora el valor crítico, esta vez para una confianza del 97 %.

$1-\alpha =\mathrm{0,97}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,015}\Rightarrow P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,985}$

$z$	$P(Z\le z)$ 2,16	0,9846 2,17	0,9850 2,18	0,9854

$z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$

${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10}}}\approx \mathrm{0,632}\text{ kg}$

$E=\mathrm{2,17}\cdot \mathrm{0,632}\approx \mathrm{1,37}\text{ kg}$

$IC=(\mathrm{34,3}-\mathrm{1,37},\mathrm{34,3}+\mathrm{1,37})=(\mathrm{32,93},\mathrm{35,67})$

Con una confianza del 97 %, la producción media de naranjas por árbol está entre 32,93 y 35,67 kg.