Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

La potencia generada por una placa solar, $P$ (medida en kW), depende del tiempo transcurrido, $t$ (medido en horas), según la expresión siguiente:

$P(t)=\{\begin{array}{ll}0& \text{para }0\le t<8,\\ -2t^2+52t+c& \text{para }8\le t<18,\\ 0& \text{para }18\le t\le 24,\end{array}$

donde $c$ es un parámetro real.



a) Teniendo en cuenta que la función es continua, ¿cuál es el valor del parámetro $c$? [3 puntos]

b) Teniendo en cuenta que el valor máximo se alcanza a las 13 horas, calcule con la expresión dada cuál es la potencia en ese momento. [3 puntos]

c) ¿En qué intervalos es creciente la función? ¿En qué intervalos es decreciente? [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Teniendo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{c}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dentro de cada trozo la función no da problemas: los dos extremos son la constante 0 y el central es un polinomio de segundo grado. Los puntos dudosos son los empalmes, $t=8$ y $t=18$.

Imponemos la continuidad en $t=8$, igualando los dos límites laterales.

${\lim }_{t\to 8^{-}}P(t)=0$

${\lim }_{t\to 8^{+}}P(t)=-2\cdot 8^2+52\cdot 8+c=-128+416+c=288+c$

$288+c=0\Rightarrow c=-288$

Comprobamos que con ese valor la función también es continua en el otro empalme, $t=18$.

${\lim }_{t\to {18}^{-}}P(t)=-2\cdot {18}^2+52\cdot 18-288=-648+936-288=0$

${\lim }_{t\to {18}^{+}}P(t)=0$

Los dos coinciden, así que un único valor del parámetro basta para las dos condiciones.

El parámetro vale $c=-288$, y la expresión del trozo central queda $P(t)=-2t^2+52t-288$. Tiene sentido físico: la placa no genera nada antes de las 8 h ni después de las 18 h, y la potencia arranca y acaba en 0 sin saltos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Teniendo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{13}}\mathbf{\text{horas,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dada}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{momento.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta sustituir $t=13$ en el trozo central, que es el que cubre ese instante.

$P(13)=-2\cdot {13}^2+52\cdot 13-288$

$P(13)=-2\cdot 169+676-288=-338+676-288=50$

De paso se confirma que el máximo está donde dice el enunciado: la parábola tiene el vértice en

$t={\displaystyle \frac{-52}{2\cdot (-2)}}={\displaystyle \frac{-52}{-4}}=13$

La potencia máxima es de 50 kW, y se alcanza a las 13 horas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{creciente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{decreciente?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En los trozos primero y tercero la función es constantemente 0, así que ahí no crece ni decrece. Todo el estudio se reduce al trozo central, donde derivamos.

$P(t)=-2t^2+52t-288\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(t)=-4t+52$

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow -4t+52=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{52}{4}}=13$

Hacemos un estudio de signos con un valor de prueba a cada lado del 13, dentro del intervalo $(8,18)$.

$\text{Si }t=10,P^{\mathrm{\prime }}(10)=-40+52=12>0$

$\text{Si }t=16,P^{\mathrm{\prime }}(16)=-64+52=-12<0$



La función es creciente en el intervalo $(8,13)$ y decreciente en el intervalo $(13,18)$. En $[0,8)$ y en $(18,24]$ es constante e igual a 0, de modo que no crece ni decrece: la placa empieza a producir a las 8 h, sube hasta el máximo de mediodía y vuelve a caer a cero a las 18 h.