Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2026 (convocatoria ordinaria)

En 2025 la mediana de los salarios en España fue de aproximadamente 24 000 € anuales. Es decir, la mitad de los trabajadores ganaron más, y la mitad de los trabajadores ganaron menos de esta cantidad. Según el Instituto Nacional de Estadística,

— de los trabajadores con un salario inferior a la mediana, el 31 % no estaban satisfechos con su trabajo y el otro 69 % sí que lo estaban,

— de los trabajadores con un salario superior a la mediana, el 26 % no estaban satisfechos con su trabajo y el otro 74 % sí que lo estaban.

a) Escogiendo un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no esté satisfecho con su trabajo? [1 punto]

b) Escogiendo un trabajador al azar que no esté satisfecho con su trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un salario inferior a la mediana? [1 punto]

Los resultados de una encuesta sobre la cantidad de días a la semana que un trabajador hace teletrabajo son los siguientes:

0 días	1 día	2 días	3 días	4 días	5 días 397	64	72	47	15	18

a) Calcule la proporción muestral, sobre el total de encuestados, de los que hacen al menos un día de teletrabajo semanal. [1 punto]

b) Calcule un intervalo de confianza para la proporción real de los trabajadores que hacen al menos un día de teletrabajo semanal con un nivel de confianza del 75 %. [1 punto]

Datos de la tabla de la distribución normal $N(0,1)$: $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,15})=\mathrm{0,8749}$.

Para fabricar coches necesitamos, de un proveedor, tres tipos de componentes diferentes:

— Alternador: cada uno pesa 6 kg, tiene un volumen de 80 litros y un precio de 120 €.

— Bomba de combustible: cada una pesa 2 kg, tiene un volumen de 2 litros y un precio de 40 €.

— Caja de cambios: cada una pesa 50 kg, tiene un volumen de 40 litros y un precio de 800 €.

a) Nos envían un pedido que solo contiene alternadores y cajas de cambios, que tiene una carga con un volumen total de 44 800 litros, y por la cual nos han facturado 230 000 €. ¿Cuántos alternadores nos han enviado? [1,5 puntos]

b) En el pedido siguiente, dado que cada coche necesita un componente de cada tipo, nos envían ahora el mismo número de alternadores, de bombas de combustible y de cajas de cambios. Su carga tiene un peso total de 24 360 kg, y un volumen total de 51 240 litros. ¿Cuántos alternadores nos han enviado? [1,5 puntos]

Considere la matriz $M$ y su inversa, $M^{-1}$, siguientes:

$M=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 1& -1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right),M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}7& 2& 3\\ -3& -1& -1\\ -5& -1& -2\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule el vector $x$ tal que $Mx=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$. [2 puntos]

b) Calcule el vector $y$ tal que $M^{-1}y=M^{-1}\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 2\end{array}\right)$. [1 punto]

Considere la función $f(x)=x(x^2-2x+1)$, para $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

a) Calcule el valor de la función en los extremos del dominio. [1 punto]

b) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(1)$. [1 punto]

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx}$. [1 punto]

Considere la función $f(x)=1+\sqrt{x-1}$, para $x\in [1,+\mathrm{\infty })$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica, el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]

b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto $x=10$. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]