Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere la matriz $M$ y su inversa, $M^{-1}$, siguientes:

$M=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 1& -1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right),M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}7& 2& 3\\ -3& -1& -1\\ -5& -1& -2\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule el vector $x$ tal que $Mx=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$. [2 puntos]

b) Calcule el vector $y$ tal que $M^{-1}y=M^{-1}\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 2\end{array}\right)$. [1 punto]

Se trata de una ecuación matricial. Como el enunciado ya proporciona la inversa de $M$, se despeja el vector incógnita multiplicando por la izquierda por $M^{-1}$.

$Mx=b\Rightarrow M^{-1}Mx=M^{-1}b\Rightarrow x=M^{-1}b$

Antes de usarla conviene comprobar que la matriz que da el enunciado es realmente la inversa.

$M\cdot M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 1& -1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}7& 2& 3\\ -3& -1& -1\\ -5& -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\mathrm{I}\mathrm{d}$

Ahora se multiplica la inversa por el término independiente.

$x=\left(\begin{array}{ccc}7& 2& 3\\ -3& -1& -1\\ -5& -1& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7+2+6\\ -3-1-2\\ -5-1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ -10\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado en la ecuación de partida.

$Mx=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 1& -1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-15+6+10\\ 15+6-20\\ 30-18-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

El vector pedido es $x=(15,-6,-10)$.



Aquí no hace falta calcular ningún producto. La matriz $M^{-1}$ es invertible, y su inversa es la propia $M$, así que se puede simplificar multiplicando los dos miembros por la izquierda por $M$.

$M^{-1}y=M^{-1}c\Rightarrow M{M}^{-1}y=M{M}^{-1}c\Rightarrow \mathrm{I}\mathrm{d}y=\mathrm{I}\mathrm{d}c$

$y=c=\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 2\end{array}\right)$

Es la traducción matricial de la ley de cancelación: si dos vectores tienen la misma imagen por una matriz regular, los dos vectores coinciden.

El vector pedido es $y=(-1,7,2)$, el mismo que aparece a la derecha de la igualdad.