Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, se pide:

a) Halle, de forma razonada, la matriz $A^{99}$. [1,25 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $A\cdot X+A^2=A^3-A\cdot X$. [1,75 puntos]

Calcular noventa y nueve productos no es viable, así que se buscan las primeras potencias de $A$ hasta encontrar una regularidad.

$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

Al ser $A^2=I$, las potencias se repiten de dos en dos: las pares valen $I$ y las impares valen $A$. Como $99=2\cdot 49+1$:

$A^{99}={\left(A^2\right)}^{49}\cdot A=I^{49}\cdot A=A$

$A^{99}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$



Se agrupan en un miembro los dos términos que contienen la incógnita y en el otro las potencias de $A$.

$A\cdot X+A^2=A^3-A\cdot X\Rightarrow 2A\cdot X=A^3-A^2$

Por el apartado anterior $A^2=I$ y $A^3=A^2\cdot A=A$, con lo que el segundo miembro se simplifica.

$2A\cdot X=A-I=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

La incógnita está multiplicada por la izquierda, así que se multiplica también por la izquierda por $A^{-1}$. De $A^2=I$ se sigue que $A^{-1}=A$, de modo que no hace falta invertir nada.

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{-1}(A-I)={\displaystyle \frac{1}{2}}A(A-I)={\displaystyle \frac{1}{2}}(A^2-A)={\displaystyle \frac{1}{2}}(I-A)$

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado: $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-1& \frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right)$, luego $2A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=A-I$.

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right)$.