Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción B. Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& m& 3\\ 1& 1& 2-m\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& m\end{array}\right)$:

a) Estudie el rango de $A$ dependiendo del valor de $m$. [1 punto]

b) Para $m=-1$, resuelva $AX=B^t$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{dependiendo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}(1\text{ punto})$

El rango de una matriz cuadrada de orden tres es tres cuando su determinante no se anula, así que se empieza por calcularlo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& m& 3\\ 1& 1& 2-m\end{array}\mid =m(2-m)+3+2-2m-3-(2-m)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2m-m^2+3+2-2m-3-2+m=m-m^2=m(1-m)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m=0\text{ o }m=1$

Si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }1$, el determinante no se anula y el rango es tres. Para los dos valores que lo anulan se busca un menor de orden dos no nulo.

$m=0:\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

$m=1:\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

En los dos casos hay un menor de orden dos distinto de cero y el determinante es nulo, luego el rango es dos.

El rango de $A$ es $3$ si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }1$, y es $2$ si $m=0$ o $m=1$.



Con $m=-1$ el determinante vale $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1\cdot (1+1)=-2\mathrm{\ne }0$, de modo que la matriz es regular y el sistema es compatible determinado. La incógnita es la matriz columna $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -1& 3\\ 1& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

El producto de matrices devuelve el sistema de ecuaciones lineales:

$\{\begin{array}{l}x+y+2z=0\\ x-y+3z=1\\ x+y+3z=-1\end{array}$

Restando la primera ecuación de la tercera se obtiene directamente $z$.

$(x+y+3z)-(x+y+2z)=-1-0\Rightarrow z=-1$

Se sustituye en la primera y en la segunda ecuación.

$x+y-2=0\Rightarrow x+y=2;x-y-3=1\Rightarrow x-y=4$

Sumando las dos igualdades, $2x=6$, y de ahí se obtiene la otra incógnita.

$x=3;y=2-3=-1$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$, que se comprueba sustituyendo en $AX=B^t$.