Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Problema 1.

Consideramos las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 2& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\end{array}\right)$.

a) Justifica cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúa las que sean realizables.
a.1) $B+2CA$ (1 punto)
a.2) $A-(BC{)}^T$, siendo $(BC{)}^T$ la matriz traspuesta de $BC$. (2 puntos)
a.3) $CAB$ (2 puntos)

b) Resuelve la ecuación matricial $\frac{1}{5}(B+AX)=C^T$, siendo $C^T$ la matriz traspuesta de $C$. (5 puntos)

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la que esté escrita en primer lugar coincide con el número de filas de la que esté escrita en segundo lugar. Además, la matriz producto tendrá las filas de la primera y las columnas de la segunda según: $C_{1\times 2}\cdot A_{2\times 2}=(CA{)}_{1\times 2}$

Para sumar (o restar) matrices tienen que tener exactamente las mismas dimensiones, por lo que: $B_{2\times 1}+2(CA{)}_{1\times 2}$
no se puede efectuar, pues $B$ y $CA$ no tienen las mismas dimensiones.



Por lo ya expuesto: $B_{2\times 1}\cdot C_{1\times 2}=(BC{)}_{2\times 2}\Rightarrow (BC{)}_{2\times 2}^t\Rightarrow A_{2\times 2}-(BC{)}_{2\times 2}^t$

Por lo que si se puede efectuar la operación.

$BC=\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& -2\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ -12& -12\end{array}\right)\Rightarrow (BC{)}^t=\left(\begin{array}{cc}8& -12\\ 8& -12\end{array}\right)$

$A-(BC{)}^t=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 2& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8& -12\\ 8& -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 12\\ -6& 16\end{array}\right)$



$C_{1\times 2}\cdot A_{2\times 2}\cdot B_{2\times 1}$ se puede efectuar la operación.

$CA=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-16& -8\end{array}\right)$

$(CA)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-16& -8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\end{array}\right)=16$



$\frac{1}{5}(B+AX)=C^t\Rightarrow B+AX=5C^t\Rightarrow AX=5C^t-B$

$A^{-1}AX=A^{-1}(5C^t-B)\Rightarrow X=A^{-1}(5C^t-B)$

$\det (A)=6\cdot 4-0\cdot 2=24\mathrm{\ne }0\Rightarrow A^{-1}\text{ existe}$

$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\mathrm{Adj}(A{)}^t$

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -2& 6\end{array}\right),\mathrm{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 0& 6\end{array}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{24}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 0& 6\end{array}\right)$
$5C^t-B=5\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -16\end{array}\right)$

$X=A^{-1}(5C^t-B)=\frac{1}{24}\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-6\\ -16\end{array}\right)=\frac{1}{24}\left(\begin{array}{c}-24\\ -84\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -\frac{7}{2}\end{array}\right)$