Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

B.1. ( 2 puntos)

Se considera la matriz

$A$ dada por $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& m& 0\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$

a) Calcule el valor del parámetro real $m$ para que $A^2-5A=-4I$, siendo $I$ la matriz identidad.
b) Para $m=1$, indique si la matriz $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.

Pasamos todo a un miembro, calculamos $A^2$ y obligamos a que la matriz $A^2-5A+4I$ sea la matriz nula, entrada a entrada.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& m& 0\\ 1& -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& m& 0\\ 1& -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}11& 1+m& 10\\ 0& m^2& 0\\ 5& -1-m& 6\end{array}\right)$

$A^2-5A+4I=\left(\begin{array}{ccc}11-15+4& 1+m-5& 10-10\\ 0& m^2-5m+4& 0\\ 5-5& -1-m+5& 6-10+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& m-4& 0\\ 0& m^2-5m+4& 0\\ 0& 4-m& 0\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}m-4=0\\ m^2-5m+4=0\\ 4-m=0\end{array}$

La primera y la tercera ecuación obligan a $m=4$, valor que también anula la segunda, pues $m^2-5m+4=(m-1)(m-4)$.

La igualdad $A^2-5A=-4I$ se cumple únicamente para $m=4$.



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollamos por la segunda fila, que tiene dos ceros.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& 1& 0\\ 1& -1& 2\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\end{array}\mid =6-2=4\mathrm{\ne }0$

La matriz es invertible. La calculamos por el método de los adjuntos, $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t$.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ -4& 4& 4\\ -2& 0& 3\end{array}\right)$

${(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -2\\ 0& 4& 0\\ -1& 4& 3\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -2\\ 0& 4& 0\\ -1& 4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -1& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 1& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}& 1& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\right)$

Para $m=1$ la matriz $A$ es invertible y su inversa es la matriz anterior, como se comprueba multiplicando $A\cdot A^{-1}=I$.