Matemáticas CCSS · Matrices y Determinantes · Comunidad Valenciana · 2023

Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Problema 2. Una matriz A se denomina normal si AtA=AAt, donde At denota la matriz traspuesta de A.

a) Calcula el valor de x para que la matriz (21−1x) sea normal. (4 puntos)
b) Calcula la matriz X que satisface la ecuación AX=BtX−C, donde A=(12−10), B=(1011) y C=(12−3−3). (6 puntos)

Solución

Problema 2. Una matriz A se denomina normal si AtA=AAt, donde At denota la matriz traspuesta de A.

a) Calcula el valor de x para que la matriz (21−1x) sea normal. (4 puntos)

Dt⋅D=D⋅Dt,D=(21−1x)

(2−11x)(21−1x)=(21−1x)(2−11x)

(52−x2−x1+x2)=(5−2+x−2+x1+x2)

2−x=−2+x⇒x=2

D=(21−1x) es normal si x=2

b) Calcula la matriz X que satisface la ecuacioˊn AX=BtX−C, donde A=(12−10), B=(1011) y C=(12−3−3). (6 puntos)

A=(12−10),B=(1101),C=(42−3−3)

AX=BtX−C⇒AX−BtX=−C⇒(A−Bt)X=−C

X=(A−Bt)−1(−C)

A−Bt=(12−10)−(1011)=(01−1−1)

det⁡(A−Bt)=∣01−1−1∣=1≠0

Adj⁡(A−Bt)=(−11−10)⇒(Adj⁡(A−Bt))t=(−1−110)

(A−Bt)−1=(−1−110)

X=(A−Bt)−1(−C)=(−1−110)(−1−233)=(−2−1−1−2)


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