Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A. 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& b& 0\\ 1& 0& a\end{array}\right)$

a) Determine los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para los que $A=A^{-1}$.
b) Para $a=b=2$, calcule la matriz inversa de $A$.

Si una matriz coincide con su inversa, al multiplicarla por sí misma se obtiene la identidad.

$A=A^{-1}\Rightarrow A\cdot A=A\cdot A^{-1}=I$

$A^2={\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& b& 0\\ 1& 0& a\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2+1& 0& 2a\\ 0& b^2& 0\\ 2a& 0& a^2+1\end{array}\right)$

Igualamos entrada a entrada con la matriz identidad.

$\{\begin{array}{l}{a}^2+1=1\\ 2a=0\\ b^2=1\end{array}$

$a=0,b=\pm 1$

La igualdad $A=A^{-1}$ se cumple para $a=0$ con $b=1$ o $b=-1$.



Sustituimos y comprobamos que el determinante no se anula.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(4-0)-0+1(0-2)=8-2=6\mathrm{\ne }0$

Aplicamos el método de los adjuntos. Como la matriz es simétrica, coincide con su traspuesta.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 0& 3& 0\\ -2& 0& 4\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 0& 3& 0\\ -2& 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& 0& -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$

Multiplicando $A\cdot A^{-1}$ se obtiene la identidad, lo que confirma el resultado.