Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A.1. (2 puntos) Se considera la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ a& -1& 1\\ 0& a& 1\end{array}\right)$.

a) Determine los valores del parámetro real a para los cuales la matriz A es invertible.
b) Calcule $A^{-1}$ para $a=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{real}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que lo calculamos en función del parámetro.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ a& -1& 1\\ 0& a& 1\end{array}\mid =-2+0+a^2-0-2a-0=a^2-2a-2$

$a^2-2a-2=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4+8}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}}=1\pm \sqrt{3}$

La matriz $A$ es invertible para todo valor real de $a$ salvo $a=1+\sqrt{3}$ y $a=1-\sqrt{3}$.



El valor $a=1$ no está entre los excluidos, así que la inversa existe.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& -1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1-2-2=-3\mathrm{\ne }0$

Aplicamos el método de los adjuntos, $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t$.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 1& 2& -2\\ 1& -1& -2\end{array}\right)\Rightarrow {(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ -1& 2& -1\\ 1& -2& -2\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-3}}\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ -1& 2& -1\\ 1& -2& -2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& -2& 1\\ -1& 2& 2\end{array}\right)$

Multiplicando $A\cdot A^{-1}$ se obtiene la identidad, lo que confirma el resultado.