Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

1. (2 puntos) Se considera la matriz $A$ dada por:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1-a& -2& -1\\ 1& a& 1\\ 2& -2& a\end{array}\right)$

a) Determine los valores del parámetro $a\in \mathbb{R}$ para los que exista la inversa de $A$.
b) Para $a=-2$, calcule $A^{-1}$.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos calculándolo en función del parámetro.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1-a& -2& -1\\ 1& a& 1\\ 2& -2& a\end{array}\mid =a^2(1-a)-4+2+2a+2a+2(1-a)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-a^3+a^2+2a=-a(a^2-a-2)=-a(a-2)(a+1)$

Igualamos a cero para localizar los valores que hay que descartar.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0,a=2,a=-1$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $a$ salvo $a=-1$, $a=0$ y $a=2$.



El valor $a=-2$ no está entre los excluidos, así que la inversa existe. Sustituimos y comprobamos el determinante.

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ 1& -2& 1\\ 2& -2& -2\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=12-4+2-4-4+6=8\mathrm{\ne }0$

Aplicamos el método de los adjuntos, $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t$.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 2\\ -2& -4& 2\\ -4& -4& -4\end{array}\right)\Rightarrow {(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& -4\\ 4& -4& -4\\ 2& 2& -4\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{8}}\left(\begin{array}{ccc}6& -2& -4\\ 4& -4& -4\\ 2& 2& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{3}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Multiplicando $A\cdot A^{-1}$ se obtiene la identidad, lo que confirma el resultado.