Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Considere la ecuación matricial $X\cdot A+B=A\cdot B^t$, en donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$, siendo $A$ y $B$ las matrices siguientes:
$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 1& 2\\ 1& 0& -2\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$

a) Calcule, si es posible, la inversa de la matriz $A$ y el rango de la matriz $B$.
b) Despeje la matriz $X$ en la ecuación matricial y, a continuación, calcule su valor.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos por ahí.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 1& 2\\ 1& 0& -2\end{array}\mid =0(-2-0)-1(2-2)+1(0-1)=-1\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa. La calculamos por el método de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ 2& -1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)\Rightarrow (\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 0& -1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}(\mathrm{Adj}(A){)}^t=-\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 0& -1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

Para el rango de $B$ calculamos primero su determinante.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =1(-1+1)-1(1-0)+(-1)(-1-0)=0-1+1=0$

El rango no llega a 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

La matriz $A$ tiene inversa y es la calculada; el rango de $B$ es 2.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Despeje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matricial}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{continuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor.}}$

En la ecuación $X\cdot A+B=A\cdot B^t$ la incógnita multiplica a $A$ por la izquierda, así que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha.

$X\cdot A=A\cdot B^t-B\Rightarrow X\cdot A\cdot A^{-1}=(A\cdot B^t-B)\cdot A^{-1}$

$X=(A\cdot B^t-B)\cdot A^{-1}$

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

$A\cdot B^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 1& 2\\ 1& 0& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -2& 0& 1\\ 3& -1& -2\end{array}\right)$

$A\cdot B^t-B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -2& 0& 1\\ 3& -1& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -3& 1& 0\\ 3& 0& -3\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -3& 1& 0\\ 3& 0& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& -2& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -6& 7& 4\\ 3& -3& 0\end{array}\right)$

La matriz solución de la ecuación es $X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -6& 7& 4\\ 3& -3& 0\end{array}\right)$.