Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A 1 [hasta 2,5 puntos]
Se considera la ecuación matricial:
$A\cdot X=A^t\cdot B$ donde $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$.

a) [0,5 puntos] ¿Qué dimensión debe tener la matriz $X$?
b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{dimensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{?}}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda. Se anota primero la dimensión de cada matriz conocida.

$A_{3\times 3},A_{3\times 3}^t,B_{3\times 1}$

$A_{3\times 3}^t\cdot B_{3\times 1}={\left(A^{t}B\right)}_{3\times 1}$

El primer miembro ha de tener esa misma dimensión, y además el producto $A\cdot X$ debe poder efectuarse.

$A_{3\times 3}\cdot X_{m\times n}=(AX{)}_{3\times n}\Rightarrow m=3\text{ y }n=1$

La matriz $X$ debe ser de dimensión $3\times 1$, es decir, una matriz columna.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matricial.}}$

Se despeja $X$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a la incógnita. Antes hay que comprobar que la inversa existe.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\mid =(0+4+0)-(-1+4+0)=4-3=1\mathrm{\ne }0$

$A\cdot X=A^{t}B\Rightarrow X=A^{-1}{A}^{t}B$

i) Se calcula el segundo miembro.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 2\\ -1& 2& 0\end{array}\right)$

$A^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 2\\ -1& 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -1\end{array}\right)$

ii) En lugar de calcular la inversa, es más rápido resolver el sistema que plantea la ecuación, ya que la incógnita es una matriz columna.

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ y+2z=6\\ x+2y=-1\end{array}$

Restando la tercera ecuación de la primera desaparecen $x$ e $y$ de golpe:

$(x+2y-z)-(x+2y)=3-(-1)\Rightarrow -z=4\Rightarrow z=-4$

$y=6-2z=6+8=14$

$x=-1-2y=-1-28=-29$

Se comprueba en la primera ecuación:

$-29+28+4=3$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{c}-29\\ 14\\ -4\end{array}\right)$.