Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A.1. [hasta 2,5 puntos]
Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$.

a) [0,75 puntos] Comprueba que la matriz $B$ es la inversa de la matriz $A$.
b) [0,75 puntos] Calcula la matriz $(A-2I_2{)}^2$, donde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.
c) [1 punto] Calcula la matriz $X$ tal que $A\cdot X=B$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Comprueba}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$

Una matriz es la inversa de otra cuando el producto de ambas, en cualquiera de los dos órdenes, da la matriz identidad. No hace falta calcular ninguna inversa: basta multiplicar.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& -2+2\\ 6-6& -3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& 2-2\\ -6+6& -3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$

Como $A\cdot B=B\cdot A=I_2$, queda comprobado que $B=A^{-1}$.



Se efectúa primero la resta y después se eleva al cuadrado, que es multiplicar la matriz por sí misma.

$A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right)$

${(A-2I_2)}^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

El resultado es $(A-2I_2{)}^2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I_2$, es decir, tres veces la matriz identidad.



Se despeja $X$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a la incógnita.

$A\cdot X=B\Rightarrow A^{-1}A\cdot X=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

Por el apartado (a) no hay que calcular la inversa: ya se sabe que $A^{-1}=B$.

$X=B\cdot B=B^2=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}4+3& -2-2\\ -6-6& 3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -12& 7\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -12& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=B$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -12& 7\end{array}\right)$.