Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Problema 2.

Consideramos las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 1& 1& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$

a) Calcula la inversa de la matriz $A-B$. (3 puntos)
b) Calcula la matriz $X$ de dimensión $2\times 3$, que satisface la ecuación $XA+C=XB$. (4 puntos)
c) ¿Es posible hacer el producto $BC$? Si la respuesta es afirmativa calcula dicho producto; en caso contrario, justifica el porqué. ¿Es posible hacer el producto $CB$? Si la respuesta es afirmativa calcula dicho producto; en caso contrario, justifica el porqué. (3 puntos)

$A-B=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 1& 1& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 0& 0& 2\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 0& 0& 2\\ 1& 0& 0\end{array}\mid =6\mathrm{\ne }0$.Existe la inversa.

$(A-B{)}^{-1}=\frac{\mathrm{Adj}((A-B{)}^T)}{\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }}$

$\mathrm{Adj}\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 3& 0& 0\\ 2& 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mid \begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 0\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\mid \\ -\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 2\end{array}\mid \\ \mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 0\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 0\end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 2& -2& -4\\ 0& 3& 0\end{array}\right)$

$(A-B{)}^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 2& -2& -4\\ 0& 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$


Despejamos la matriz $X$ en la ecuación matricial.

$XA+C=XB\Rightarrow XA-XB=-C\Rightarrow X(A-B)=-C$$\Rightarrow X=-C(A-B{)}^{-1}$

Sustituimos los valores de las matrices y hacemos las operaciones para obtener $X$:

$X=-\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -3\\ -\frac{1}{3}& -\frac{2}{3}& -\frac{4}{3}\end{array}\right)$



$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -3\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right)$

$BC=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$

La matriz $B$ es de orden $3\times 3$ y la matriz $C$ es de orden $2\times 3$.
No es posible hacer $BC$, pues el número de columnas de $B$ (3) no coincide con el número de filas de $C$ (2).

$CB=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$

La matriz $C$ es de orden $2\times 3$ y la matriz $B$ es de orden $3\times 3$.
Sí es posible hacer $CB$, pues el número de columnas de $C$ (3) coincide con el número de filas de $B$ (3).

Calculamos el producto:$CB=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 13\\ 1& 7& 7\end{array}\right)$