Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A.1. [hasta 2,5 puntos]
Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& -1& -1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 2& -1& -1\end{array}\right)$.

a) [1 punto] Razona qué dimensión deben tener las matrices $P$ y $Q$ para que los productos $(A\cdot P\cdot B^t)$ y $(Q\cdot A\cdot C)$ den como resultado una matriz cuadrada.
b) [1,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial:
$A\cdot X-2B\cdot C^t=A^t$

Antes de nada conviene anotar la dimensión de cada matriz, porque es lo que decide qué productos se pueden hacer.

$A_{2\times 2},B_{2\times 3},C_{2\times 3}$



Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda.

i) Producto $A\cdot P\cdot B^t$. Se llama $m\times n$ a la dimensión de $P$. La traspuesta de $B$ es de dimensión $3\times 2$.

$A_{2\times 2}\cdot P_{m\times n}\Rightarrow m=2$

$P_{2\times n}\cdot B_{3\times 2}^t\Rightarrow n=3$

$A_{2\times 2}\cdot P_{2\times 3}\cdot B_{3\times 2}^t=(A\cdot P\cdot B^t{)}_{2\times 2}$

El resultado es cuadrado sin más condiciones, así que $P$ ha de ser de dimensión $2\times 3$.

ii) Producto $Q\cdot A\cdot C$. Se llama $m\times n$ a la dimensión de $Q$.

$A_{2\times 2}\cdot C_{2\times 3}=(A\cdot C{)}_{2\times 3}$

$Q_{m\times n}\cdot (A\cdot C{)}_{2\times 3}\Rightarrow n=2$

$Q_{m\times 2}\cdot (A\cdot C{)}_{2\times 3}=(Q\cdot A\cdot C{)}_{m\times 3}$

Para que el resultado sea cuadrado hace falta que $m=3$, de modo que $Q$ ha de ser de dimensión $3\times 2$.



Se despeja $X$ multiplicando por $A^{-1}$ siempre por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a la incógnita.

$A\cdot X=A^t+2B\cdot C^t\Rightarrow X=A^{-1}(A^t+2B\cdot C^t)$

i) Se calcula el segundo miembro.

$B\cdot C^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -5\\ 8& 8\end{array}\right)$

$A^t+2B\cdot C^t=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-4& -10\\ 16& 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& -13\\ 18& 20\end{array}\right)$

ii) Se calcula la inversa de $A$, que existe porque su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 4\end{array}\mid =-4+6=2\mathrm{\ne }0$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 3& -1\end{array}\right)$

iii) Se multiplica para obtener la incógnita.

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5& -13\\ 18& 20\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-56& -92\\ -33& -59\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-28& -46\\ -\frac{33}{2}& -\frac{59}{2}\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-28& -46\\ -\frac{33}{2}& -\frac{59}{2}\end{array}\right)$.