Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

1. Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}m-1& 0\\ -2& m\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)yD=\left(\begin{array}{c}1-2m\\ -2m\end{array}\right)\mathrm{.}$
a) [1 punto] Si $(A+B)\cdot C=B\cdot D$, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.
b) [1,5 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 2.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{(A+B)}}\mathbf{\text{C}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{D,}}\mathbf{\text{plantea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{(representadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Primero se suman las dos matrices cuadradas:

$A+B=\left(\begin{array}{cc}m-1& 0\\ -2& m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m& -1\\ -1& m\end{array}\right)$

El primer miembro es entonces

$(A+B)\cdot C=\left(\begin{array}{cc}m& -1\\ -1& m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}mx-y\\ -x+my\end{array}\right)$

y el segundo, que no depende de las incógnitas,

$B\cdot D=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1-2m\\ -2m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(1-2m)-(-2m)\\ 1-2m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1-2m\end{array}\right)$

Conviene fijarse en que la primera componente se simplifica del todo: los términos en $m$ se cancelan y queda un 1 limpio. Igualando componente a componente:

$\{\begin{array}{rcrcl}mx& -& y& =& 1\\ -x& +& my& =& 1-2m\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{siempre}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica?}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El determinante de la matriz de coeficientes es

$\mid \begin{array}{cc}m& -1\\ -1& m\end{array}\mid =m^2-1=(m-1)(m+1)$

que se anula para $m=1$ y $m=-1$. Hay que estudiar tres casos.

$\mathbf{\text{Si}}m\mathrm{\ne }1\mathbf{\text{y}}m\mathrm{\ne }-1$: el determinante no es nulo, el rango de las dos matrices vale 2 y el sistema es compatible determinado, con solución única.

$\mathbf{\text{Si}}m=1$: las ecuaciones son $x-y=1$ y $-x+y=-1$, que son la misma escrita del revés. El sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, todas las de la recta $y=x-1$.

$\mathbf{\text{Si}}m=-1$: las ecuaciones son $-x-y=1$ y $-x-y=3$. Los primeros miembros coinciden y los segundos no, así que el sistema es incompatible y no tiene solución.

En resumen, el sistema tiene solución para todo $m\mathrm{\ne }-1$, pero esa solución solo es única cuando además $m\mathrm{\ne }1$.

Para $m=2$ el determinante vale $3\mathrm{\ne }0$ y el sistema es

$\{\begin{array}{rcrcl}2x& -& y& =& 1\\ -x& +& 2y& =& -3\end{array}$

Se despeja $y=2x-1$ en la primera y se sustituye en la segunda:

$-x+2(2x-1)=-3⟹3x-2=-3⟹x=-\frac{1}{3}$

$y=2(-\frac{1}{3})-1=-\frac{5}{3}$

La solución es $\mathbf{\text{x}}=-\frac{1}{3}$, $\mathbf{\text{y}}=-\frac{5}{3}$. Se comprueba en la segunda ecuación: $\frac{1}{3}-\frac{10}{3}=-3$, que es justo $1-2m$ con $m=2$.