Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Apartado 1. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Consideramos las matrices:

$B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 3\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Determina la matriz $X$ que es solución de la ecuación $4XB+C^{t}D=I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $C^t$ la traspuesta de la matriz $C$. (2 puntos)
b) Una matriz $A$ se dice que es idempotente si $A^2=A$. Consideramos la matriz:

$F=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& z\end{array}\right)$

Determina para qué valores de $z$ la matriz $FC$ es idempotente. (1,5 puntos)

Partimos de la ecuación:

$4XB+C^{t}D=I$

Queremos despejar $X$. Primero pasamos $C^{t}D$ al otro lado:

$4XB=I-C^{t}D$

Después dividimos entre $4$:

$XB=\frac{1}{4}(I-C^{t}D)$

Y para eliminar $B$, multiplicamos por la derecha por $B^{-1}$:

$X=\frac{1}{4}(I-C^{t}D)B^{-1}$

Calculamos primero $C^t$:

$C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow C^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

Ahora calculamos $C^{t}D$:

$C^{t}D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

Entonces:

$I-C^{t}D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$

Calculamos ahora la inversa de $B$:

$B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=4\cdot 3-(-1)(-2)=12-2=10$

Por tanto:

$B^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$

Sustituimos en la expresión de $X$:

$X=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$

$X=\frac{1}{40}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$

Multiplicamos las matrices:

$\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-7& -9\\ 8& 6\end{array}\right)$

Por tanto:

$X=\frac{1}{40}\left(\begin{array}{cc}-7& -9\\ 8& 6\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{7}{40}& -\frac{9}{40}\\ \frac{1}{5}& \frac{3}{20}\end{array}\right)$



Una matriz es idempotente si cumple:

$A^2=A$

En este caso, queremos que la matriz $FC$ cumpla:

$(FC{)}^2=FC$

Calculamos primero $FC$:

$F=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& z\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

$FC=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ z& 0\end{array}\right)$

Llamamos:

$A=FC=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ z& 0\end{array}\right)$

Calculamos $A^2$:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ z& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ z& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+z& 1\\ z& z\end{array}\right)$

Para que sea idempotente:

$A^2=A$

$\left(\begin{array}{cc}1+z& 1\\ z& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ z& 0\end{array}\right)$

Igualamos los elementos correspondientes:

$1+z=1\Rightarrow z=0$

$z=0$

Por tanto, el único valor que hace que $FC$ sea idempotente es:

$z=0$