Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2 puntos) Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.
a) Calcule $(A-B)$ (0,5 puntos).
b) Calcule $(A-B{)}^t$ (0,5 puntos).
c) Hallar la matriz $X$ que verifica $AX=A\cdot B+B$ (1 punto).

Se restan las dos matrices elemento a elemento.

$A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -2& 0\end{array}\right)$



La traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas en el resultado anterior.

$(A-B{)}^t=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -1& 0\end{array}\right)$



Como $A$ multiplica a la incógnita por la izquierda, se despeja multiplicando por $A^{-1}$ también por la izquierda.

$X=A^{-1}(A\cdot B+B)$

Se calcula primero el segundo miembro.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$

$A\cdot B+B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 5\end{array}\right)$

Se comprueba que $A$ es regular y se calcula su inversa.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\mathrm{\ne }0;A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ {\displaystyle \frac{5}{2}}& {\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}\right)$

La matriz que verifica la ecuación es la anterior, como se comprueba sustituyendo en $AX=A\cdot B+B$.