Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2,5 puntos) Dadas las matrices
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$ ; $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$ ; $C=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$ ; $D=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$
Realiza las siguientes operaciones:
a) El producto $A\cdot B$. (0,5 puntos)
b) La inversa $C^{-1}$. (0,5 puntos)
c) La diferencia $D-A\cdot B$. (0,5 puntos)
d) Resuelve la ecuación matricial: $A\cdot B+C\cdot X=D$; es decir calcula la matriz $X$. (1 punto)

En el examen la matriz $A$ es de orden $2\times 3$, que es lo que hace que el producto $A\cdot B$ esté definido y que los apartados c) y d) tengan sentido.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$



Se multiplica fila por columna; el resultado es de orden $2\times 2$.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& -7\end{array}\right)$



Se comprueba primero que la matriz es regular.

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\mid =10-9=1\mathrm{\ne }0$

Como el determinante vale $1$, la inversa es directamente la traspuesta de la matriz de adjuntos.

$C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$



Se restan elemento a elemento.

$D-A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 8\end{array}\right)$



Se despeja la incógnita matricial y se multiplica por la izquierda por la inversa del apartado b).

$C\cdot X=D-A\cdot B\Rightarrow X=C^{-1}(D-A\cdot B)$

$X=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -18\\ 2& 31\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-1& -18\\ 2& 31\end{array}\right)$, como se comprueba sustituyendo en la ecuación de partida.