Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.2 [2,5 puntos]
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
$\{\begin{array}{l}3x-2y-2z=3\\ x-z=1\\ 2y-z=0\end{array}$

a) [0,4 puntos] Exprésalo a través de una ecuación matricial.
b) [0,8 puntos] ¿La matriz de los coeficientes posee inversa? Razona tu respuesta.
c) [1,3 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones lineales.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Expr}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{salo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{trav}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matricial.}}$

Todo sistema lineal se escribe como el producto de la matriz de coeficientes por la matriz columna de las incógnitas, igualado a la matriz columna de los términos independientes. Hay que cuidar de escribir un cero en cada incógnita que falte en una ecuación.

$A\cdot X=B$

$\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -2\\ 1& 0& -1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿La}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{coeficientes}}\mathbf{\text{posee}}\mathbf{\text{inversa?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& -2& -2\\ 1& 0& -1\\ 0& 2& -1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=[3\cdot 0\cdot (-1)+(-2)(-1)\cdot 0+(-2)\cdot 1\cdot 2]-[(-2)\cdot 0\cdot 0+3\cdot (-1)\cdot 2+(-2)\cdot 1\cdot (-1)]$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(0+0-4)-(0-6+2)=-4-(-4)=0$

La matriz de los coeficientes no posee inversa, porque su determinante es nulo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}$

Al ser $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ no se puede despejar $X=A^{-1}B$, de modo que se discute el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Primero se busca el rango de la matriz de coeficientes.

$\mid \begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\mid =0+2=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A)=2$

Se orla ese menor con la columna de términos independientes para hallar el rango de la matriz ampliada.

$\mid \begin{array}{ccc}3& -2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\mid =(0+0+6)-(0+6+0)=0\Rightarrow \text{ rg}(A\mathrm{\mid }B)=2$

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A\mathrm{\mid }B)=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Se prescinde de la primera ecuación, que es la que queda fuera del menor elegido, y se toma $z$ como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x-z=1\\ 2y-z=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1+z\\ y={\displaystyle \frac{z}{2}}\end{array}$

Para que la solución quede sin denominadores se llama $z=2\lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.

$\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Se comprueba en la ecuación descartada:

$3(1+2\lambda )-2\lambda -2\cdot 2\lambda =3+6\lambda -2\lambda -4\lambda =3$

El sistema tiene infinitas soluciones, que son las ternas de la forma $(1+2\lambda ,\lambda ,2\lambda )$ con $\lambda$ real.