Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Decimos que una matriz es mágica si la suma de los elementos de cada fila y de cada columna tiene como resultado en todos los casos el mismo valor, que se denomina constante mágica.

Martín ha encontrado una manera de crear matrices mágicas eligiendo tres números cualesquiera y multiplicándolos por las matrices siguientes:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& 2\end{array}\right)$

Martín propone a sus amigos que cada uno construya su matriz mágica particular a partir del día de su cumpleaños, del mes de su cumpleaños y de su edad.

a) Sabiendo que Martín nació el 10 de marzo y que tiene 18 años, calcule $10\cdot A+3\cdot B+18\cdot C$. Compruebe que la matriz resultante es mágica e indique cuál es su constante mágica (el valor común de la suma de las filas y las columnas). [1,25 puntos]

b) Martín ha calculado la matriz mágica de su padre, que cumple años el 8 de septiembre, y ha obtenido que su constante mágica es 153. ¿Qué edad tiene el padre de Martín? [1,25 puntos]

El día del cumpleaños es 10, el mes es marzo (el tercero) y la edad es 18. Multiplicamos cada matriz por su número y después sumamos las tres matrices elemento a elemento.

$10A=\left(\begin{array}{ccc}10& -10& 0\\ -10& 0& 10\\ 0& 10& -10\end{array}\right),3B=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 3\\ 3& 0& -3\\ -3& 3& 0\end{array}\right),18C=\left(\begin{array}{ccc}0& 54& 0\\ 18& 18& 18\\ 36& -18& 36\end{array}\right)$

$M=10A+3B+18C=\left(\begin{array}{ccc}10+0+0& -10-3+54& 0+3+0\\ -10+3+18& 0+0+18& 10-3+18\\ 0-3+36& 10+3-18& -10+0+36\end{array}\right)$

$M=\left(\begin{array}{ccc}10& 41& 3\\ 11& 18& 25\\ 33& -5& 26\end{array}\right)$

Comprobamos que las seis sumas coinciden. Por filas:

$10+41+3=54,11+18+25=54,33-5+26=54$

Por columnas:

$10+11+33=54,41+18-5=54,3+25+26=54$

Las seis sumas valen lo mismo, de modo que la matriz $M$ es mágica y su constante mágica es $54$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Mart}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{calculado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{gica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{padre,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cumple}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{8}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{septiembre,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{gica}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">153</mn>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{padre}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Mart}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Conviene averiguar antes de qué depende la constante mágica. Llamamos $d$ al día, $m$ al mes y $e$ a la edad, y estudiamos las sumas de las filas de cada una de las tres matrices por separado.

En la matriz $A$ todas las filas y todas las columnas suman $0$:

$1-1+0=0,-1+0+1=0,0+1-1=0$

En la matriz $B$ ocurre lo mismo:

$0-1+1=0,1+0-1=0,-1+1+0=0$

En la matriz $C$ todas las filas y todas las columnas suman $3$:

$0+3+0=3,1+1+1=3,2-1+2=3$

Como la suma de una fila de $dA+mB+eC$ es la combinación de las sumas correspondientes, la constante mágica resulta ser:

$d\cdot 0+m\cdot 0+e\cdot 3=3e$

La constante mágica no depende ni del día ni del mes del cumpleaños: solo depende de la edad. Imponemos que valga 153.

$3e=153\Rightarrow e={\displaystyle \frac{153}{3}}=51$

El padre de Martín tiene $51$ años. La fecha del 8 de septiembre no interviene en el resultado, porque las matrices $A$ y $B$ tienen todas sus filas y columnas de suma nula.