Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2024 (convocatoria ordinaria)

Dos compañías de taxi, A y B, ofrecen tarifas diferentes. La compañía A ofrece un coste fijo de 20 € más 0,4 € por kilómetro recorrido, mientras que el precio de la compañía B sigue la función $g(x)=\mathrm{0,01}{x}^2+\mathrm{0,1}x+10$, donde $x$ representa el número de kilómetros recorridos.

a) ¿Cuál de las dos compañías ofrece la tarifa más económica si hacemos un recorrido de 10 km? ¿Y si hacemos uno de 80 km? Calcule la diferencia de precio en cada caso. ¿Hay algún coste fijo en la tarifa de la compañía B solo por el hecho de subir al taxi? [1 punto]

b) Determine para qué número de kilómetros recorridos las dos tarifas coinciden. Si consideramos solo los trayectos inferiores a esta cantidad, ¿para qué número de kilómetros la diferencia de precio entre una tarifa y la otra es máxima? ¿Cuál es esta diferencia máxima de precio? [1,5 puntos]

Una empresa de muebles dispone de tres fábricas que producen un modelo de sofá determinado. El mes pasado se fabricaron un total de 1.260 unidades de este modelo y sabemos que la segunda fábrica produjo tantos sofás como las otras dos juntas.

a) Con esta información, ¿podemos determinar cuántos sofás produjo cada una de las fábricas? Justifique la respuesta. A continuación, calcule, solo con esta información, cuántos sofás produjo la segunda fábrica. [1,25 puntos]

b) También sabemos que un 10 % de los sofás producidos por la primera fábrica, un 30 % de los producidos por la segunda y un 20 % de los producidos por la tercera eran de color gris, y que en total se fabricaron 284 sofás de este color. Encuentre cuántos sofás produjo cada fábrica el mes pasado. [1,25 puntos]

Una agricultora contrata a un conductor para que lleve un tractor hasta un pueblo que se encuentra a 300 km de distancia. Sabemos que el gasoil que utiliza el tractor cuesta 1,96 € por litro y que el conductor cobra 14,70 € la hora. Supongamos que el conductor hará todo el trayecto a una velocidad constante y que el consumo de gasoil (en litros por hora), en función de la velocidad $x$ (en kilómetros por hora), viene dado por la función $G(x)=5+{\displaystyle \frac{x^2}{98}}$.

a) Calcule el tiempo que tardará el conductor en hacer el viaje y el coste total del viaje si el tractor hace todo el recorrido a 40 km/h (la velocidad máxima permitida para este tipo de vehículo). Compruebe que la función que da el coste total del viaje en función de la velocidad del tractor se puede expresar como $C(x)={\displaystyle \frac{7.350}{x}}+6x$. [1,25 puntos]

b) Calcule cuál es la velocidad que hace que el coste total del viaje sea mínimo. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos]

Decimos que una matriz es mágica si la suma de los elementos de cada fila y de cada columna tiene como resultado en todos los casos el mismo valor, que se denomina constante mágica.

Martín ha encontrado una manera de crear matrices mágicas eligiendo tres números cualesquiera y multiplicándolos por las matrices siguientes:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& 2\end{array}\right)$

Martín propone a sus amigos que cada uno construya su matriz mágica particular a partir del día de su cumpleaños, del mes de su cumpleaños y de su edad.

a) Sabiendo que Martín nació el 10 de marzo y que tiene 18 años, calcule $10\cdot A+3\cdot B+18\cdot C$. Compruebe que la matriz resultante es mágica e indique cuál es su constante mágica (el valor común de la suma de las filas y las columnas). [1,25 puntos]

b) Martín ha calculado la matriz mágica de su padre, que cumple años el 8 de septiembre, y ha obtenido que su constante mágica es 153. ¿Qué edad tiene el padre de Martín? [1,25 puntos]

Guiu y Roc son unos grandes aficionados al cine y ven muchas películas de la plataforma a la que están suscritos. Les gusta tanto que, si tomamos una película de la plataforma al azar, la probabilidad de que Guiu la haya visto es de 0,5, la probabilidad de que Roc la haya visto es de 0,6 y la probabilidad de que la hayan visto los dos es de 0,25.

a) Si elegimos una película al azar, calcule la probabilidad de que al menos uno de los dos la haya visto. Calcule también la probabilidad de que la haya visto Roc pero no Guiu. [1,5 puntos]

b) Si elegimos una película al azar, calcule la probabilidad de que Guiu la haya visto si sabemos que al menos uno de los dos la ha visto. [1 punto]

Queremos saber el porcentaje de personas que estarían a favor de la construcción de un polideportivo municipal en una población determinada. Tomamos una muestra aleatoria de 350 personas, 218 de las cuales se manifiestan a favor de la propuesta y el resto, en contra.

a) Dé la estimación puntual de la proporción y del porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo. [1 punto]

b) Escriba un intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo en esta población.

Nota: Recuerde que, si $Z$ sigue una distribución normal $(0,1)$, $P(-\mathrm{1,96}\le Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,95}$. Recuerde también que, para muestras grandes, el intervalo de confianza para una proporción con un nivel de confianza $\gamma \in (0,1)$ viene dado por $[\widehat{p}-z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\gamma }\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}]$. [1,5 puntos]