Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2022 (convocatoria ordinaria)

En el instituto de Martín han elaborado tres tipos diferentes de ramos de rosas para vender el día de Sant Jordi. La opción clásica consiste en una rosa y una espiga. La opción de ramo pequeño está formada por tres rosas y dos espigas. Y, finalmente, la opción de ramo grande consiste en media docena de rosas y tres espigas. Todos los ramos (sean de la opción que sean) llevan un bonito envoltorio. Sabemos que se han utilizado 200 rosas, 135 espigas y 85 envoltorios.

a) ¿Cuántos ramos se han elaborado de cada tipo? [1,75 puntos]

b) Si el precio de venta de un ramo de la opción clásica es de 3 euros, el de un ramo pequeño es de 5 euros y el de un ramo grande es de 10 euros, ¿cuánto dinero se ingresará si se venden todos? [0,75 puntos]

Experimentalmente se ha comprobado que la producción de un tipo de fruta determinado que se cultiva en invernaderos depende de la temperatura, según la función $f(x)=-x^2+46x-360$, donde $x$ representa la temperatura del invernadero en grados Celsius y $f(x)$ es la producción anual en centenares de kilogramos por hectárea. El precio de venta de la fruta se mantiene estable a 1,2 euros por cada kilogramo.

a) Determine el intervalo de temperaturas entre las que hay que mantener el invernadero para que haya producción de fruta. Calcule los ingresos anuales por hectárea si se mantiene el invernadero a 20 °C de temperatura. [1,25 puntos]

b) ¿A qué temperatura se obtiene la producción máxima de fruta? ¿Qué ingresos por hectárea se obtienen en este caso? [1,25 puntos]

Una empresa se propone hacer dos tipos de cestas de Navidad, A y B, para los trabajadores y las trabajadoras. Cada cesta de tipo A contendrá 1 jamón, 1 botella de cava y 5 barras de turrón. Por otra parte, cada cesta de tipo B contendrá 2 jamones, 3 botellas de cava y 2 barras de turrón. El jefe de almacén afirma que disponen de 40 jamones, 120 barras de turrón y muchas botellas de cava, y que, por tanto, de cava seguro que no faltará. Se quieren hacer tantas cestas como sea posible.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. ¿Cuántas cestas de cada tipo tendrá que hacer la empresa? [1,75 puntos]

b) Una vez hecho el cálculo, la jefa de la empresa se lo repiensa y dice que es mejor hacer la misma cantidad de cestas de cada tipo. Con esta nueva condición, ¿cuántas cestas de cada tipo se tendrán que hacer? [0,75 puntos]

Un grupo de biólogos está estudiando un cultivo de bacterias. La población de estas bacterias (en centenares) viene dada por la función $P(t)=a+{\displaystyle \frac{12t}{t^2+b}}$, donde $a$ y $b$ son constantes positivas reales y $t\ge 0$ es el tiempo transcurrido en minutos.

Sabemos que en el instante inicial del estudio la población de bacterias era de 6 centenares y que el valor máximo de población se ha alcanzado al cabo de 2 minutos de haber iniciado el estudio.

a) Encuentre los valores de las constantes $a$ y $b$. [1,25 puntos]

b) Calcule la población máxima de bacterias y estudie su comportamiento a largo plazo, es decir, hacia qué valor se estabiliza el número de bacterias. [1,25 puntos]

Considere las matrices $P=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ a& 2& 3\end{array}\right)$ y $A=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Encuentre para qué valores de $a$ es invertible la matriz obtenida del resultado del producto $P\cdot A$. [1,5 puntos]

b) Si $a=2$, encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial $P\cdot A+X=I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

En los modelos matemáticos que se utilizan para describir la evolución de una enfermedad, se llama $R_0$ al número medio de nuevas infecciones que cada persona infectada provoca en la población. Cuando este número es inferior a 1, cada individuo infectado transmite la enfermedad, de media, a menos de una persona y la enfermedad tiende a desaparecer. En cambio, si $R_0$ es mayor que 1, la enfermedad se extiende y se produce una epidemia.

Cuando se descubre una vacuna efectiva contra la enfermedad, se puede controlar la epidemia vacunando solo una proporción $p$ de la población. Es lo que se conoce como inmunidad de grupo. Efectivamente, una vez vacunada una proporción $p\in (0,1)$ de la población, la nueva $R_0$, que se llama efectiva y se denota con $R_e$, es el producto de la $R_0$ original por la proporción de individuos que no están vacunados, $1-p$. Y se consigue controlar la epidemia si la $R_e$ es inferior a 1.

a) En el caso del sarampión, se estima que $R_0=15$. Si analizamos una población con un porcentaje de individuos vacunados del 95 %, según el modelo descrito, ¿hay riesgo de que se produzca una epidemia de sarampión en esta población? [0,75 puntos]

b) En el caso concreto de la llamada gripe española de 1918, se estima que $R_0=4$. Calcule qué porcentaje de población habría hecho falta vacunar, como mínimo, para detener la epidemia de esta enfermedad. [0,75 puntos]

c) Exprese, en general, el umbral de población mínima que hay que vacunar en función del valor $R_0$ de una enfermedad. Haga un esbozo de esta función para los valores de $R_0$ entre 1 y 20. [1 punto]